Cho a,b là hai số bất kì có tổng bằng 1.Chứng minh rằng \(a^3\)+\(b^3\)Lớn hơn hoặc bằng \(\frac{1}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 10 2016
Ta có \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)
Theo đề bài ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
NT
0
9 tháng 10 2015
Gọi 5 số đó là a; b; c; d; e . ta có a+ b + c + d + e = 1
Không mất tính tổng quát, giả sử 0 < a < b < c < d < e
Nhận xét: c + d < \(\frac{2}{3}\). Vì nếu c + d > \(\frac{2}{3}\)
ta có: 2e > c + d > \(\frac{2}{3}\) => e > \(\frac{1}{3}\) => e + c + d > \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{2}{3}\) = 1 . Mâu thuẫn với a + b + c + d + e = 1; và a; b; c; d; e không âm
Áp dụng bđt Cô si ta có: cd < \(\frac{1}{4}\)(c + d)2 => c.d < \(\frac{1}{9}\)
Mặt khác, 1 = a + b + c + d + e > a + 3b + e > 3b + e > 2.\(\sqrt{3be}\) => b.e < \(\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2=\frac{1}{12}\) < \(\frac{1}{9}\)
+) ta có: a.e < b.e < \(\frac{1}{12}\) < \(\frac{1}{9}\); b.c < c.d < \(\frac{1}{9}\); d.a < d.c < \(\frac{1}{9}\)
=> có thể sắp xếp 5 số a; b; c;d; e theo thứ tự như sau: a; e; b; c ; d đều thỏa mãn tích 2 số bất kì cạnh nhau không vượt quá \(\frac{1}{9}\)
(a+b)^2>=4ab
1>=4ab
ab<=1/4
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^2-ab+b^2=a^2+2ab+b^3-3ab
=(a+b)^2-3ab=1-3ab>=1-3.1/4=1/4
suy ra đpcm