Question

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có \(AB=2\sqrt{3};AA'=2\)

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính \(cos\left(\widehat{\left(AB'C'\right);\left(BCMN\right)}\right)\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm A'A, BC và MN

\(\left\{{}\begin{matrix}MN||B'C'\\DN||AB'\end{matrix}\right.\) (đường trung bình tam giác) \(\Rightarrow\left(AB'C'\right)||\left(DNM\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc giữa (AB'C') bằng góc giữa (DNM) và (BCMN)

\(MN\perp A'F\) (A'MN là tam giác đều), và \(A'A\perp\left(A'B'C'\right)\Rightarrow A'A\perp MN\)

\(\Rightarrow MN\perp\left(A'AEF\right)\) \(\Rightarrow\)  góc giữa (DNM) và (BCMN) là \(\widehat{DFE}\) nếu nó là góc nhọn và \(180^0-\widehat{DFE}\) nếu nó là góc tù

\(MN=\dfrac{1}{2}B'C'=\sqrt{3}\Rightarrow A'F=\dfrac{MN\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

\(\Rightarrow DF=\sqrt{A'F^2+A'D^2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\)

\(AE=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=3\Rightarrow DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{10}\)

Gọi G là trung điểm AE \(\Rightarrow FG\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}FG=A'A=2\\GE=\dfrac{1}{2}AE=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(EF=\sqrt{FG^2+EG^2}=\dfrac{5}{2}\)

Áp dụng định lý hàm cos:

\(cos\widehat{DFE}=\dfrac{DF^2+EF^2-DE^2}{2DF.EF}=...\Rightarrow\widehat{DFE}=...\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]