cho các số không âm a, b, c, x, y. chứng minh rằng a^2 + b^2 + c^2 + x^2 + y^2 >= a(b+c+d+x+y)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 12 2023
Trước hết ta chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) (*) với \(a,b,x,y>0\). Thật vậy, (*) tương đương \(\dfrac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\dfrac{a^2+2ab+b^2}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+a^2y^2+b^2x^2+b^2xy\ge2abxy+a^2xy+b^2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh. ĐTXR \(\Leftrightarrow ay=bx\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
Áp dụng BĐT (*) liên tiếp, ta được:
\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)
Ta có đpcm.
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{a^2}{4}+b^2\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{4}.b^2}=ab$
$\frac{a^2}{4}+c^2\geq ac$
$\frac{a^2}{4}+x^2\geq ax$
$\frac{a^2}{4}+y^2\geq ay$
Cộng theo vế các BĐT trên ta có:
$a^2+b^2+c^2+x^2+y^2\geq ab+ac+ax+ay=a(b+c+x+y)$ (đpcm)