Cho a,b,c ko âm và ko lớn hơn 2 thoả: a+b+c=3. C/m: a^2 +b^2+c^2 <= 5.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 3 2023
Do \(0\le a;b;c\le2\)
\(\Rightarrow abc+\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow9-\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị
TT
1
18 tháng 7 2019
Ta có: \(0\le a;b;c\le2\Rightarrow\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(4-2a-2b+ab\right)\left(2-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-4c-4a+2ac-4b+2bc+2ab-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow8-4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ac\right)-abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow-4+a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)-abc\ge a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow5\ge a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+b^2+c^2\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)\("="\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và hoán vị
NQ
1
26 tháng 7 2020
Ta có : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
=> \(a^2-2ab+b^2+b^2-2ac+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\)
=> \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2bc\)
=> \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2bc\)
=> \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=100\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{100}{3}\)
Vậy ....
VQ
23 tháng 5 2022
a2+b2+c2=4−abc≤4
Smax=4 khi 1 trong 3 số bằng 0
4=abc+a2+b2+c2≥abc+33√(abc)2
Đặt 3√abc=x>0⇒x3+3x2−4≤0
⇔(x−1)(x+2)2≤0⇒x≤1
⇒abc≤1⇒S=4−abc≥3
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
23 tháng 5 2022
Min là hoán vị a=b=0 c=2 ; a=c=0 b=2 ; b=c=0 a=2 mà :vv
mà thôi Min làm đr còn max
TKS
2 tháng 9 2016
Ta có a2 - (b - c)2 <= a2
<=>(a+b-c)(a-b+c) <= a2
Tương tự
(b-c+a)(b-a+c) <= b2
(c-a+b)(c-b+a) <= c2
Từ đó ta có (b-c+a)2(b-a+c)2(c-b+a)2 <= a2 b2 c2
<=> (c-b+a)(b-c+a)(b-a+c) <= abc (nhân vô chuyển vế nha)
<=> (a2 b + a2 c) + (b2 a + b2 c) + (c2 a + c2 b) <= a3 + b3 + c3 + 3abc
<=> a2 (a+b+c) + b2 (a+b+c) + c2 (a+b+c) <= 2(a3 + b3 + c3) + 3abc ( cộng 2 vế cho
Ta có a2 - (b - c)2 <= a2
<=>(a+b-c)(a-b+c) <= a2
Tương tự
(b-c+a)(b-a+c) <= b2
(c-a+b)(c-b+a) <= c2
Từ đó ta có (b-c+a)2(b-a+c)2(c-b+a)2 <= a2 b2 c2
<=> (c-b+a)(b-c+a)(b-a+c) <= abc
<=> (a2 b + a2 c) + (b2 a + b2 c) + (c2 a + c2 b) <= a3 + b3 + c3 + 3abc
<=> a2 (a+b+c) + b2 (a+b+c) + c2 (a+b+c) <= 2(a3 + b3 + c3) + 3abc (cộng 2 vế cho a3 + b3 + c3)
<=> a2 + b2 + c2 <= 2(a3 + b3 + c3 ) + 3abc
Xong
Theo giả thuyết ta có:
\(\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\ge0\Leftrightarrow8+2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)-abc\ge0\)
Cộng 2 vế cho \(a^2+b^2+c^2\) rồi sau đó rút gọn thì ta sẽ được:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge a^2+b^2+c^2+abc+4\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+abc\le5\)
Do \(abc\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)