Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{y^2}+1}+\dfrac{1}{z^2+1}\le\dfrac{3}{\sqrt{2}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 10 2018
Lời giải:
Ta có: \(x+y+z=xyz\Rightarrow x(x+y+z)=x^2yz\)
\(\Rightarrow x(x+y+z)+yz=x^2yz+yz\)
\(\Rightarrow (x+y)(x+z)=yz(x^2+1)\)
Do đó: \(\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{1+\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{yz}}}{x}\leq \frac{1+\frac{1}{2}(\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z})}{x}\) theo BĐT AM-GM:
Thực hiện tương tự với các phân thức khác ta suy ra:
\(\text{VT}\leq \frac{1+\frac{1}{2}(\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z})}{x}+\frac{1+\frac{1}{2}(\frac{y+z}{z}+\frac{y+x}{x})}{y}+\frac{1+\frac{1}{2}(\frac{z+x}{x}+\frac{z+y}{y})}{z}\)
\(\text{VT}\leq 3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{3(xy+yz+xz)}{xyz}\)
Mà theo AM-GM:
\(\frac{3(xy+yz+xz)}{xyz}\leq \frac{(x+y+z)^2}{xyz}=\frac{(xyz)^2}{xyz}=xyz\)
Do đó: \(\text{VT}\leq xyz\)
Ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 9 2021
\(VT^2\le3\left(\dfrac{1}{2x^2+y^2+3}+\dfrac{1}{2y^2+z^2+3}+\dfrac{1}{2z^2+x^2+3}\right)\)
Mặt khác:
\(\dfrac{1}{2\left(x^2+1\right)+y^2+1}\le\dfrac{1}{4x+2y}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x+x+y}\right)\le\dfrac{1}{18}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow VT^2\le\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 8 2021
Giả thiết thiếu rồi em, chỗ \(\dfrac{1}{x+1}+...\) thiếu đoạn sau nữa
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 8 2021
Đặt \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}};\dfrac{1}{\sqrt{y}};\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}=1\)
Ta cần chứng minh: \(ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\)
Thật vậy, ta có:
\(1=\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
Đề bài chắc chắn là có vấn đề
Thử với \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) thì \(VT=\dfrac{\sqrt{2}}{4}< 2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 4 2021
Như bạn sửa điều kiện thành \(x^3+y^3+z^3=1\) thì dấu "=" không xảy ra
Việc chứng minh vế trái lớn hơn 2 (một cách tuyệt đối) khá đơn giản:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
Làm tương tự với 2 số hạng còn lại, sau đó cộng vế
Nhưng đẳng thức không xảy ra.
14 tháng 4 2017
Bài 1:
Ta có: \(\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(\dfrac{b}{\sqrt{1+b^2}}=\dfrac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}=\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}=\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
Vậy \(P=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P\le a\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+b\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{a+c}\right)+c\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{a+c}\right)=\dfrac{9}{4}\)
Bài 2:
Ta có:
\(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}=\dfrac{2+\sqrt{4\left(1+x^2\right)}}{2x}\le\dfrac{2+\dfrac{4+\left(1+x^2\right)}{2}}{2x}=\dfrac{9+x^2}{4x}\)
Tương tự ta cũng có:
\(\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}\le\dfrac{9+y^2}{4y};\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\dfrac{9+z^2}{4z}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(\dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+\dfrac{1+\sqrt{1+y^2}}{y}+\dfrac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\le\dfrac{9+x^2}{4x}+\dfrac{9+y^2}{4y}+\dfrac{9+z^2}{4z}\)
\(=\dfrac{9\left(xy+yz+xz\right)+xyz\left(x+y+z\right)}{4xyz}\le\dfrac{9\cdot\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(xyz\right)^2}{4xyz}=xyz\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
14 tháng 4 2017
Bài 1:
\(\dfrac{2a}{\sqrt{1+a^2}}=\dfrac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Sau đó côsi
Tự làm nốt nhé, ra 3/2 đấy. Em học lớp 8 nên cách giải chỉ thế thôi. Câu 2 em chưa làm được
Áp dụng BĐT cô si với ba số không âm ta có :
1(x+1)2+x+18+x+18≥33√164=341(�+1)2+�+18+�+18≥31643=34
=> 1(x+1)2≥34−x+141(�+1)2≥34−�+14 (1)
Dấu '' = '' xảy ra khi x = 1
CM tương tự ra có " 1(y+1)2≥34−y+141(�+1)2≥34−�+14(2) ; 1(z+1)2≥34−z+141(�+1)2≥34−�+14 (3)
Dấu ''= '' xảy ra khi y = 1 ; z = 1
Từ (1) (2) và (3) => 1(x+1)2+1(y+1)2+1(z+1)2≥34⋅3−x+y+z+341(�+1)2+1(�+1)2+1(�+1)2≥34⋅3−�+�+�+34≥94−33√xyz+34=94−64=34≥94−3���3+34=94−64=34
BĐT được chứng minh
Dấu '' = '' của bất đẳng thức xảy ra khi x =y =z = 1
:()