Cho 0≤x,y,z≤1
Tìm max \(D=\sqrt{\dfrac{x}{1+yz}}+\sqrt{\dfrac{y}{1+zx}}+\dfrac{z}{2+2xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 7 2018
Câu hỏi của Anh Tú Dương - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
17 tháng 4 2022
1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3
= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x + 3
= 1-x/x + 2x/1-x + 3 >= 2√2 + 3
Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1
17 tháng 4 2022
2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)
=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y
= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3
a^2+1 >= 2a => a/a^2+1 <= 1/2
b^2+2 >= 2√2 b => b/b^2+2 <= 1/2√2
c^2+3 >= 2√3 c => c/c^2+3 <= 1/2√3
=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3
Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3
<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3
<=> x=4, y=6, z=2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 1 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}=\sqrt{\frac{xy}{xy+z(x+y+z)}}=\sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{z+y}\right)\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
\(\sum \sqrt{\frac{xy}{xy+z}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+z}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{x+y}{x+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 1
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{2.\dfrac{1}{2}x+2yz}}+\dfrac{y}{\sqrt{2.\dfrac{1}{2}y+zx}}+\dfrac{z}{\sqrt{2.\dfrac{1}{2}z+xy}}\)
\(=\dfrac{x}{\sqrt{2x\left(x+y+z\right)+yz}}+\dfrac{y}{\sqrt{2y\left(x+y+z\right)+2zx}}+\dfrac{z}{\sqrt{2z\left(x+y+z\right)+2xy}}\)
\(=\dfrac{x}{\sqrt{2\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{2\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{2\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{\dfrac{x}{x+y}}.\sqrt{\dfrac{x}{x+z}}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{\dfrac{y}{x+y}}.\sqrt{\dfrac{y}{y+z}}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{\dfrac{z}{x+z}}.\sqrt{\dfrac{z}{y+z}}\)
\(\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{z}{y+z}\right)\)
\(=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\dfrac{1}{6}\)
1 tháng 10 2021
Gọi \(A=\sum\dfrac{x^3}{\sqrt{y^2+3}}\)
Theo Holder: \(A.A.\left(\left(y^2+3\right)+\left(z^2+3\right)+\left(x^2+3\right)\right)\ge\left(x^3+y^3+z^3\right)^3\)
\(\Rightarrow A^2\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{x^2+y^2+z^2+9}\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}=\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2+xy+yz+zx}\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3\right)^3}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
Ta có đánh giá sau: \(x^3+y^3+z^3\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)
\(\Rightarrow A^2\ge\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{9}}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\dfrac{x+y+z}{12}\ge\dfrac{\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{12}\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{2}\)
HN
3 tháng 10 2017
\(A=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+\dfrac{1}{4}xy+y^2}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{y^2+\dfrac{1}{4}yz+z^2}}+\sqrt{\dfrac{z^2}{z^2+\dfrac{1}{4}zx+x^2}}\le2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{y}{4x}+\dfrac{y^2}{x^2}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{z}{4y}+\dfrac{z^2}{y^2}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{4z}+\dfrac{x^2}{z^2}}}\le2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y}{x}=a\\\dfrac{z}{y}=b\\\dfrac{x}{z}=c\end{matrix}\right.\) thì bài toán thành
Chứng minh: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}}\le1\) với \(abc=1\)
Thử giải bài toán mới này xem sao bác.
3 tháng 10 2017
*C/m bài toán mới của HUngnguyen
Ta có BĐT phụ \(\dfrac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}\le\dfrac{a+1}{2\left(a^2+a+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\left(4a^2+a+4\right)\ge4\left(a^2+a+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2\ge0\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}\le\dfrac{b+1}{2\left(b^2+b+1\right)};\dfrac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}}\le\dfrac{c+1}{2\left(c^2+c+1\right)}\)
CỘng theo vế 3 BĐT trên ta có;
\(VT\le1=VP\) * Chỗ này tự giải chi tiết ra nhé, giờ bận rồi*
T
8 tháng 8 2021
Sử dụng bất đẳng thức Minkovski, ta có:
\(P = \sqrt {{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}^2}} \)
\( \ge \sqrt {\left[ {{{\left( {x + y + z} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}} \right] + \frac{{80}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}} \)
\(\ge \sqrt{2+\dfrac{80}{1}} =\sqrt{82}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}.\)
Kết luận ...
8 tháng 8 2021
\(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{82}}\sqrt{\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)}\ge\dfrac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\dfrac{9}{x}\right)\)
tương tự với \(\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}};\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
\(=>P\ge\dfrac{1}{\sqrt{81}}\left(x+\dfrac{9}{x}+y+\dfrac{9}{y}+z+\dfrac{9}{z}\right)\)
có \(x+\dfrac{9}{x}=x+\dfrac{1}{9x}+\dfrac{80}{9x}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{9}}+\dfrac{80}{9x}\)
tương tự với \(y+\dfrac{9}{y};z+\dfrac{9}{z}\)
\(=>P\ge\dfrac{1}{\sqrt{82}}\left[2\sqrt{\dfrac{1}{9}}.3+\dfrac{\left(\sqrt{80}+\sqrt{80}+\sqrt{80}\right)^2}{9\left(x+y+z\right)}\right]=\dfrac{1}{\sqrt{82}}.82=\sqrt{82}\)
dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=1/3
B
27 tháng 6 2023
Xét A= \(\dfrac{x}{\sqrt{x+2yz}}\).\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)=\(\dfrac{x}{\sqrt{2x+4yz}}\)=\(\sqrt{\dfrac{x.x}{2x+4yz}}\)
ta có x+y+z=\(\dfrac{1}{2}\)=> 2x+2y+2z= 1=> 2x+4yz= 4yz+1-2y-2z=(2y-1)(2z-1)
từ đó A= \(\sqrt{\dfrac{x}{2y-1}.\dfrac{x}{2z-1}}\)=\(\sqrt{\dfrac{x}{2y-2x-2y-2z}.\dfrac{x}{2z-2x-2y-2z}}\)
=\(\sqrt{\dfrac{x}{-2\left(x+y\right)}\dfrac{x}{-2\left(x+z\right)}}\)=\(\sqrt{\dfrac{1}{4}.\dfrac{x}{x+z}.\dfrac{x}{x+y}}\)=\(\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{x}{x+y}.\dfrac{x}{x+z}}\)
Áp dụng cô si \(\sqrt{ab}\)≤\(\dfrac{a+b}{2}\) =>\(\dfrac{1}{2}\sqrt{ab}\)≤\(\dfrac{a+b}{4}\)ta được
A≤\(\dfrac{1}{4}\).(\(\dfrac{x}{x+y}\)+\(\dfrac{x}{x+z}\))
cmmt thì \(\dfrac{P}{\sqrt{2}}\)≤ \(\dfrac{1}{4}\).\(\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+x}+\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)\)
\(\dfrac{P}{\sqrt{2}}\)≤\(\dfrac{3}{4}\)=>P≤\(\dfrac{3.\sqrt{2}}{4}\)=\(\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\)
Dấu"=" xảy ra <=> x=y=z=\(\dfrac{1}{6}\)
\(D\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{x}{1+yz}\right)+\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{y}{1+zx}\right)+\dfrac{z}{2+2xy}\)
\(=1+\dfrac{x}{2\left(1+yz\right)}+\dfrac{y}{2\left(1+zx\right)}+\dfrac{z}{2\left(1+xy\right)}\)
Do \(0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge0\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy+1\right)\ge xy+1+x+y\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\dfrac{z}{2\left(1+xy\right)}\le\dfrac{z}{x+y+z}\)
Tương tự: \(\dfrac{x}{2\left(1+yz\right)}\le\dfrac{x}{x+y+z}\) ; \(\dfrac{y}{2\left(1+zx\right)}\le\dfrac{y}{x+y+z}\)
Cộng vế:
\(P\le1+\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{z}{x+y+z}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;0\right)\)
Thầy cho em hỏi xíu ạ
Tại sao: \(xy+1+x+y\ge x+y+z\)