Tìm GTNN của bt: P= \(\frac{x^2}{y^2}\)+ \(\frac{y^2}{X^2}\)- 3 (\(\frac{x}{y}\)+ \(\frac{y}{x}\)) +5 ( với x # o, y # 0)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 9 2019
1/a/
\(A=\frac{2}{xy}+\frac{3}{x^2+y^2}=\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}+\frac{4}{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{x^2+y^2}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}-\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=16-2=14\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
9 tháng 9 2019
b/
\(4B=\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{8}{xy}+16xy=\left(\frac{4}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\right)+\left(\frac{1}{xy}+16xy\right)+\frac{5}{xy}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{xy}.16xy}+\frac{5}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)
\(=16+8+20=44\)
\(\Rightarrow B\ge11\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
12 tháng 6 2020
\(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)
Mà theo BĐT AM - GM ta có tiếp:
\(xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1\)
\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\le\left(\frac{x+y+z+3}{3}\right)^3=8\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1
Vậy..................
21 tháng 11 2016
Áp dụng BĐT \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(a+b\right)\) (bạn tự chứng minh)
Ta có \(P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+x^2}}{y}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\x,y,z>0\end{cases}}\)
Vậy min P = \(3\sqrt{2}\) khi x = y = z
NM
tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
2
TN
30 tháng 3 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}}=2\)
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\Rightarrow3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge6\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge2-6=-4 \)
\(\Rightarrow P=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\ge-4+5=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y\)
3 tháng 8 2015
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\)
=> \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)
Thay vào ta có :
\(t^2-2-3t+5=t^2-3t+3=t^2-2.t\cdot\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
VẬy GTNN của BT là 5/4 khi \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=0\) ( bạn tự tính ra x;y nha)
Tick đúng nha
3 tháng 8 2015
gtnn=1 áp dụng bđt :\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\Leftrightarrow x=y\)
6 tháng 3 2018
\(P=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
\(P=\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
\(P=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
\(P=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-5\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
\(P=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+5.\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\)
T
1
27 tháng 2 2019
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\) (Vì x+y=1)
Vậy Min của bt trên là 25/2. Đạt được khi x=y=1/2.
VD
1
Ta có:
\(2P=\frac{2x^2}{y^2}+\frac{2y^2}{x^2}-6\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+10\)
\(=\left(\frac{x^2}{y^2}+2+\frac{y^2}{x^2}\right)-4\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+4+\left(\frac{x^2}{y^2}-2\frac{x}{y}+1\right)+\left(\frac{y^2}{x^2}-2\frac{y}{x}+1\right)+2\)
\(=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)^2+\left(\frac{x}{y}-1\right)^2+\left(\frac{y}{x}-1\right)^2+2\)
\(\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
Dấu = xảy ra khi x = y
gì mà đánh võng kính thế