Với a,b,c \(\ge0 \) thoả mãn a+b+c=1
TÌM GTNN CỦA \(Q=\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2020
Đặt \(\left(\sqrt{7a+9};\sqrt{7b+9};\sqrt{7c+9}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\le x;y;z\le4\\x^2+y^2+z^2=34\end{matrix}\right.\)
Ta cần tìm min của \(S=x+y+z\)
Do \(3\le x;y;z\le4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(x-4\right)\le0\\\left(y-3\right)\left(y-4\right)\le0\\\left(z-3\right)\left(z-4\right)\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{x^2+12}{7}\\y\ge\frac{y^2+12}{7}\\z\ge\frac{z^2+12}{7}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+36}{7}=10\)
\(S_{min}=10\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(3;3;4\right)\) và hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
9 tháng 12 2019
Điểm rơi \(\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị.Ta UCT:)
Ta bất đẳng thức phụ:
\(\sqrt{7x+9}\ge x+3\) với \(0\le x\le1\)
\(\Leftrightarrow7x+9\ge x^2+6x+9\)
\(\Leftrightarrow7\ge x+6\)
\(\Leftrightarrow x\le1\left(true!!\right)\)
Khi đó ta có:
\(\sqrt{7a+9}\le a+3;\sqrt{7b+9}\le b+3;\sqrt{7c+9}\le c+3\)
\(\Rightarrow\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\le a+b+c+9=10\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=1;b=c=0\) và các hoán vị.
14 tháng 5 2021
Đặt `a=\sqrt{7x+9},b=\sqrt{7y+9},c=\sqrt{7z+9}`
`=>a^2+b^2+c^2=7(x+y+z)+27=34`
`=>a^2=34-a^2-b^2<=16`
`=>9<=a^2<=4`
`=>3<=a<=4`
`=>(a-3)(a-4)<=0`
`<=>a^2+12<=7a`
`=>a>=(a^2+12)/7)`
CMTT:`b>=(b^2)/(7)`
`c>=(c^2+12)/(7)`
`=>a+b+c>=(a^2+b^2+c^2+36)/(7)=10`
Dấu "=" `<=>(x,y,z)=(0,0,1)` và các hoán vị
Bài này hơi phức tạp xíu
14 tháng 5 2021
Đặt `a=\sqrt{7x+9},b=\sqrt{7y+9},c=\sqrt{7z+9}`
`=>a^2+b^2+c^2=7(x+y+z)+27=34`
`=>a^2=34-a^2-b^2<=16`
`=>9<=a^2<=16`
`=>3<=a<=4`
`=>(a-3)(a-4)<=0`
`<=>a^2+12<=7a`
`=>a>=(a^2+12)/7)`
CMTT:`b>=(b^2)/(7)`
`c>=(c^2+12)/(7)`
`=>a+b+c>=(a^2+b^2+c^2+36)/(7)=10`
Dấu "=" `<=>(x,y,z)=(0,0,1)` và các hoán vị
Bài này hơi phức tạp xíu
W
1
14 tháng 5 2021
Bài này sửa đề thành \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a+b+c=1\end{cases}}\) thì mới chặt chẽ để có thể giải được
Khi đó \(0\le a,b,c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{cases}}\)
Ta cần chứng minh: \(\sqrt{7a+9}\ge a+3\)
\(\Leftrightarrow7a+9\ge a^2+6a+9\)\(\Leftrightarrow a\ge a^2\) (luôn đúng)
Tương tự chứng minh được:
\(\sqrt{7b+9}\ge b+3\) và \(\sqrt{7c+9}\ge c+3\)
Khi đó:
\(S=\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\ge a+b+c+9=1+9=10\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=c=0\end{cases}}\) và các hoán vị của chúng
13 tháng 12 2018
số thực ko âm nhé
\(a+b+c=1\Leftrightarrow a;b;c\le1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{7a+9}+\sqrt{7b+9}+\sqrt{7c+9}\)
\(=\sqrt{a+6a+9}+\sqrt{b+6b+9}+\sqrt{c+6c+9}\)
\(\ge\sqrt{a^2+6a+9}+\sqrt{b^2+6b+9}+\sqrt{c^2+6c+9}\)
\(=\sqrt{\left(a+3\right)^2}+\sqrt{\left(b+3\right)^2}+\sqrt{\left(c+3\right)^2}\)
\(=a+b+c+9=10\left(a;b;c\ge0\right)\)
\("="\Leftrightarrow\)a;b;c là hoán vị (0;0;1)
27 tháng 4 2023
Với \(ab+bc+ca=1\) và a,b,c>0 ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a^2+1}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\\\sqrt{b^2+1}=\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\\\sqrt{c^2+1}=\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}\end{matrix}\right.\). Do đó:
\(\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}=a+b\)
Tương tự: \(\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{a^2+1}}=b+c\) ; \(\dfrac{\sqrt{c^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}=c+a\)
\(\Rightarrow P=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P^2=4\left(a+b+c\right)^2\ge4.3\left(ab+bc+ca\right)=4.3.1=12\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Vậy \(MinP=2\sqrt{3}\)
