Question

[Khách]

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), nội tiếp đường tròn (O). Hai tiếp tuyến của (O). Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại P. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của P trên các đường thẳng AB, AC. Chứng minh rằng:

a, Tứ giác ADPE nội tiếp

b,\(\widehat{BAC}=\widehat{PDM}\)

c, M là trực tâm của tam giác ADE

Answer 1

[Tô Hoài An]

a) C/m \(\widehat{PEA}+\widehat{PDA}=90^o+90^o=180^o\) (D,E theo thứ tự là hình chiếu của P trên các đường thẳng AB, AC -> \(PE\perp AC\)  ; \(PD\perp AB\))

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau -> Tứ giác ADPE nội tiếp (dhnb)

b) \(\widehat{PDA}=90^o\Rightarrow\widehat{PDB}=90^o\left(D\in AB\right)\)-> \(D\in\)đtròn đkính PB (1)

Có: OB = OC = R -> O \(\in\)đường trung trực của BC

Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại P -> PB = PC (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) -> P \(\in\)đường trung trực của BC

-> OP là đường trung trực của BC -> OP \(\perp\)BC tại trung điểm của BC

Mà M là trung điểm của BC (gt)

-> \(PM\perp BC\Rightarrow\widehat{PMB}=\widehat{PMC}=90^o\)\(\Rightarrow M\in\)đtròn đkính PB (2)

Từ (1) và (2) -> Tứ giác PDBM nt đtròn đkính PB (btoán quỹ tích)

-> \(\widehat{PDM}=\widehat{PBM}\)(góc nt cùng chắn cung PM) hay \(\widehat{PDM}=\widehat{PBC}\left(M\in BC\right)\)

Lại có: \(\widehat{PBC}=\widehat{BAC}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nt chắn cung BC của (O))

-> \(\widehat{BAC}=\widehat{PDM}\)(đpcm)

c) Nối EM

Có: \(\widehat{PEC}=\widehat{PMC}\)(\(\widehat{PEA}=90^o,E\in AC\)) -> E, M \(\in\)đtròn đkính PC

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau -> Tứ giác PECM nt đtròn đkính PC -> \(\widehat{PEM}=\widehat{PCM}\)(góc nt cùng chắn cung PM)

Lại có PB = PC (cmt) -> \(\Delta PBC\)cân tại P \(\Rightarrow\widehat{PBM}=\widehat{PCM}\)

\(\Rightarrow\widehat{PEM}=\widehat{PBM}\), mà \(\widehat{PBM}=\widehat{PDM}\)(cmt) -> \(\widehat{PEM}=\widehat{PDM}\)

Vì tứ giác ADPE nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{DPE}=180^o\)(2 góc đối)

Lại có: \(\widehat{BAC}=\widehat{PDM}\)

\(\Rightarrow\widehat{PDM}+\widehat{DPE}=180^o\)mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía

-> PE // DM mà \(PE\perp AC\)\(\Rightarrow DM\perp EA\left(E\in AC\right)\)(3)

Có: \(\widehat{PDM}+\widehat{DPE}=180^o\Rightarrow\widehat{PEM}+\widehat{DPE}=180^o\)        (\(\widehat{PEM}=\widehat{PDM}\))

Mà 2 góc nằm ở vị trí trong cùng phía -> PD // EM mà \(PD\perp AB\)\(\rightarrow EM\perp AD\left(D\in AB\right)\)(4)

Từ (3) và (4) xét tam giác ADE -> M là trực tâm của tam giác ADE (đpcm)