Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: góc OBE+góc OCE=180 độ
=>OBEC nội tiếp
b: Xét ΔEBD và ΔEAB có
góc EBD=góc EAB
góc BED chung
=>ΔEBD đồng dạng với ΔEAB
=>EB/EA=ED/EB
=>EB^2=EA*ED
DC = DA
OA = OC
Do đó OD là trung trực của đoạn thẳng AC : suy ra OD vuông góc với AC
Tứ giác OECH có góc CEO + góc CHO = 180 độ
Suy ra tứ giác OECH là tứ giác nội tiếp
a: góc OBI+góc OCI=180 độ
=>OCIB nội tiếp
b: Xét (O) có
IB,IC là tiếp tuyến
=>IB=IC
mà OB=OC
nên OI là trung trực của BC
=>M là trung điểm của BC
Xét ΔOBI vuôngtại B có BM vuông góc OI
nên BM^2=MI*MO
=>BC^2=4*MI*MO
c: góc BMI+góc BDI=180 độ
=>BMID nội tiếp
=>góc MDI=góc MBI=góc MCI
góc IMC+góc IEC=180 độ
=>IMCE nội tiếp
=>góc MCI=góc MEI
=>góc MDI=góc MEI
ΔMCI vuông tại M nên góc MIC+góc MCI=90 độ
góc MCI=góc BAC
=>góc BAC+góc MEC=góc MCI+góc MIC=90 độ
=>ME vuông góc AB
=>ME//ID
=>IEMD là hình bình hành
=>D,G,E thẳng hàng
Do BM là tiếp tuyến của đường tròn nên
Xét đường tròn (O) có AD là một dây cung. Lại có E là trung điểm AD nên theo tính chất của đường kính và dây cung, ta có hay .
Xét tứ giác OEBM có , chúng lại là hai góc kề nhau nên OEBM là tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm . Hai tiếp tuyến tại và cắt nhau tại . cắt đường tròn tại điểm thứ hai . Gọi là trung điểm đoạn . Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
theo bai ta co là trung điểm đoạn
a) Xét tứ giác OCDB có
\(\widehat{OBD}+\widehat{OBC}=180^0\)
Do đó: OCDB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Em không vẽ được hình, xin thông cảm
a, Ta có góc EAN= cungEN=cung EC+ cung EN
Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)
=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)
=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED
b,Ta có EC=EB=EM
Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM
MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180
=> AME = ABE
=> tam giác ABE= tam giác AME
=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A
Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM
CMTT => AC vuông góc EN
MÀ AC giao BM tại M
=> M là trực tâm tam giác AEN
Vậy M là trực tâm tam giác AEN
c, Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH
Vì M là trực tâm của tam giác AEN
=> \(EN\perp AN\)
Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)
=> \(EN//OI\)
MÀ O là trung điểm của EH
=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )
=> tứ giác AMNH là hình bình hành
=> AH=MN
Mà MN=NC
=> AH=NC
=> cung AH= cung NC
=> cung AH + cung KC= cung KN
Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )
NBK là góc nội tiếp chắn cung KN
=> gócKMC=gócKBN
Hay gócKMC=gócKBM
=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)
Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK
a: góc AMB=góc AHB=90 độ
=>AMHB nội tiếp
b:góc AFD=góc ADC=góc ABC
Xét ΔABC và ΔAFD có
góc AFD=góc ABC
góc A chung
=>ΔABC đồng dạng với ΔAFD
=>AB/AF=AC/AD
=>AB*AD=AF*AC
a) C/m \(\widehat{PEA}+\widehat{PDA}=90^o+90^o=180^o\) (D,E theo thứ tự là hình chiếu của P trên các đường thẳng AB, AC -> \(PE\perp AC\) ; \(PD\perp AB\))
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau -> Tứ giác ADPE nội tiếp (dhnb)
b) \(\widehat{PDA}=90^o\Rightarrow\widehat{PDB}=90^o\left(D\in AB\right)\)-> \(D\in\)đtròn đkính PB (1)
Có: OB = OC = R -> O \(\in\)đường trung trực của BC
Hai tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại P -> PB = PC (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) -> P \(\in\)đường trung trực của BC
-> OP là đường trung trực của BC -> OP \(\perp\)BC tại trung điểm của BC
Mà M là trung điểm của BC (gt)
-> \(PM\perp BC\Rightarrow\widehat{PMB}=\widehat{PMC}=90^o\)\(\Rightarrow M\in\)đtròn đkính PB (2)
Từ (1) và (2) -> Tứ giác PDBM nt đtròn đkính PB (btoán quỹ tích)
-> \(\widehat{PDM}=\widehat{PBM}\)(góc nt cùng chắn cung PM) hay \(\widehat{PDM}=\widehat{PBC}\left(M\in BC\right)\)
Lại có: \(\widehat{PBC}=\widehat{BAC}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nt chắn cung BC của (O))
-> \(\widehat{BAC}=\widehat{PDM}\)(đpcm)
c) Nối EM
Có: \(\widehat{PEC}=\widehat{PMC}\)(\(\widehat{PEA}=90^o,E\in AC\)) -> E, M \(\in\)đtròn đkính PC
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau -> Tứ giác PECM nt đtròn đkính PC -> \(\widehat{PEM}=\widehat{PCM}\)(góc nt cùng chắn cung PM)
Lại có PB = PC (cmt) -> \(\Delta PBC\)cân tại P \(\Rightarrow\widehat{PBM}=\widehat{PCM}\)
\(\Rightarrow\widehat{PEM}=\widehat{PBM}\), mà \(\widehat{PBM}=\widehat{PDM}\)(cmt) -> \(\widehat{PEM}=\widehat{PDM}\)
Vì tứ giác ADPE nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{DPE}=180^o\)(2 góc đối)
Lại có: \(\widehat{BAC}=\widehat{PDM}\)
\(\Rightarrow\widehat{PDM}+\widehat{DPE}=180^o\)mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía
-> PE // DM mà \(PE\perp AC\)\(\Rightarrow DM\perp EA\left(E\in AC\right)\)(3)
Có: \(\widehat{PDM}+\widehat{DPE}=180^o\Rightarrow\widehat{PEM}+\widehat{DPE}=180^o\) (\(\widehat{PEM}=\widehat{PDM}\))
Mà 2 góc nằm ở vị trí trong cùng phía -> PD // EM mà \(PD\perp AB\)\(\rightarrow EM\perp AD\left(D\in AB\right)\)(4)
Từ (3) và (4) xét tam giác ADE -> M là trực tâm của tam giác ADE (đpcm)