cho a,b,c thỏa mản
a²+ b²+ c²=1
CMR: abc+2*(1+a+b+c +ab+bc+ca)>=0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
1
3 tháng 7 2019
\(A=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1}\)
\(A=\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{abc\cdot c+abc+ac}+\frac{1}{ac+c+1}\)
\(A=\frac{c}{ac+c+1}+\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ac+c+1}\)
\(A=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}\)
\(A=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 9 2021
\(VT=\dfrac{a^2}{a+abc}+\dfrac{b^2}{b+abc}+\dfrac{c^2}{c+abc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3abc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3}=\dfrac{1^2}{1+\dfrac{1}{9}.1^3}=\dfrac{9}{10}\)
19 tháng 1 2023
\(ab+bc+ca\le1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}\)
\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)
ZT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 6 2021
\(3=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le1\)
BĐT tương đương:
\(3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+6\right]\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[15-2\left(ab+bc+ca\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(2abc+3\right)\ge15abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left(2abc+3\right)^2\ge225\left(abc\right)^2\)
Do \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)=9abc\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(2abc+3\right)^2\ge25abc\)
\(\Leftrightarrow\left(1-abc\right)\left(9-4abc\right)\ge0\) (luôn đúng với \(0< abc\le1\))
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
BM
0
PP
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 4 2021
Do \(abc=1\), nếu viết BĐT về dạng:
\(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Có lẽ bạn sẽ nhận ra ngay. Một bài toán vô cùng quen thuộc.
Chắc với bài toán này thì bạn ko cần lời giải nữa, nó có ở khắp mọi nơi.
Do a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1 nên a2≤1a2≤1 ,b2≤1b2≤1 ,c2≤1c2≤1
=>a≥−1,b≥−1,c≥−1a≥−1,b≥−1,c≥−1
=>(1+a)(1+b)(1+c)≥0(1+a)(1+b)(1+c)≥0
=>1+a+b+c+ab+bc+ca+abc≥01+a+b+c+ab+bc+ca+abc≥0
Cần chứng minh 1+a+b+c+bc+ac+ab≥01+a+b+c+bc+ac+ab≥0
Ta có 1+a+b+c+ab+bc+ca≥01+a+b+c+ab+bc+ca≥0
<=>a2+b2+c2+ab+bc+ca+a+b+c≥0a2+b2+c2+ab+bc+ca+a+b+c≥0
<=>2a2
Do a2+b2+c2=1a2+b2+c2=1 nên a2≤1a2≤1 ,b2≤1b2≤1 ,c2≤1c2≤1
=>a≥−1,b≥−1,c≥−1a≥−1,b≥−1,c≥−1
=>(1+a)(1+b)(1+c)≥0(1+a)(1+b)(1+c)≥0
=>1+a+b+c+ab+bc+ca+abc≥01+a+b+c+ab+bc+ca+abc≥0
Cần chứng minh 1+a+b+c+bc+ac+ab≥01+a+b+c+bc+ac+ab≥0
Ta có 1+a+b+c+ab+bc+ca≥01+a+b+c+ab+bc+ca≥0
<=>a2+b2+c2+ab+bc+ca+a+b+c≥0a2+b2+c2+ab+bc+ca+a+b+c≥0
<=>2a2