Question

[Nguyen Viet Hung]

Hỏi:

10¹+10²+10³+...+10¹⁰⁰

Hỏi số đó có chia hết cho 111 không?Nếu không chia hết, thì số đó chia 111dư mấy? Nếu chia hết, trình bày cách giải và lí do tại sao?

Answer 1

[Vũ Quang Vinh]

Ta có:
\(10^1+10^2+10^3+...+10^{100}\)
\(=10+\left(10^2+10^3+10^4\right)+\left(10^5+10^6+10^7\right)+...+\left(10^{98}+10^{99}+10^{100}\right)\)
\(=10+10^2\left(1+10+10^2\right)+10^5\left(1+10+10^2\right)+...+10^{98}\left(1+10+10^2\right)\)
\(=10+10^2\cdot111+10^5\cdot111+...+10^{98}\cdot111\)
\(=10+\left(10^2\cdot111+10^5\cdot111+...+10^{98}\cdot111\right)\)
\(=10+111\left(10^2+10^5+...+10^{98}\right)\)
Do \(10^2+10^5+...+10^{98}\in N\) => 111 ( 10² + 10⁵ + ... + 10⁹⁸ ) chia hết cho 111    ( vì 111 chia hết cho 111 )
Mà 10 chia cho 111 dư 10 => 10 + 111 ( 10² + 10⁵ + ... + 10⁹⁸ ) chia cho 111 dư 10
Vậy 10¹ + 10² + 10³ + ... + 10¹⁰⁰ chia cho 111 dư 10.