cho a, b>0 thỏa mãn a+b=1. CMR:\(8\left(a^4+b^4\right)+\frac{1}{ab}\ge5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
0
VT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 10 2019
\(P=8\left(a^4+b^4\right)+\frac{8}{ab}\ge\frac{8\left(a^2+b^2\right)^2}{2}+\frac{32}{\left(a+b\right)^2}\)
\(P\ge4\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2+32=1+32=33\)
\(\Rightarrow P\ge33\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bạn ghi nhầm đề thì phải
8 tháng 1 2020
\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)
\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)
\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm
6 tháng 3 2020
Áp dụng BĐT Cosi ta có \(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}.\frac{a^2+b^2}{4ab}}=1\)
Tương tự \(\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{4bc}\ge1\) \(\frac{ca}{c^2+a^2}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\ge1\)
Khi đó BĐT sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
\(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\left(\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{b^2+c^2}{4bc}+\frac{c^2+a^2}{4ca}\right)\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\left(\frac{a}{4b}+\frac{b}{4a}+\frac{b}{4c}+\frac{c}{4b}+\frac{a}{4c}+\frac{c}{4a}\right)\right)\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}-\frac{a+c}{b}-\frac{b+c}{a}-\frac{c+a}{b}\right)\ge\frac{3}{4}\)(do \(a+b+c=1\))
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\) luôn đúng. Từ đó suy ba BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
31 tháng 3 2019
Dễ thấy các hệ số tương đồng nhau nên có thể biến đổi bđt về dạng sau :
\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\right)\ge5\)
Ta đi chứng minh bđt phụ sau : \(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2a}{3}\)(1)
\(Bđt\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}-\frac{7}{3}+\frac{2a}{3}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3+2a^4-7a^2+2a^3}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^4-2a^2+1\right)+2a^3-3a^2+1}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2-1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a^2-1\right)}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+2a^2-a-1\right]}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+\left(a-1\right)\left(2a+1\right)\right]}{3a^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2\left[2\left(a+1\right)^2+2a+1\right]}{3a^2}\ge0\)(Luôn đúng do a > 0 nên [...] > 0)
Dấu "=" <=> a = 1
Thiết lập các bđt còn lại \(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2b}{3}\)
\(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2c}{3}\)
Cộng 3 vế của bdtd lại ta được
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge7-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=7-\frac{2.3}{3}=5\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
N
21 tháng 4 2020
Đặt: \(M=\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{a^2+ab+bc+ca}\)
\(\Rightarrow M.\left(a+b+c\right)=3-\Sigma_{cyc}\frac{bc}{a^2+ab+bc+ca}\)
Đến đây t cần chứng minh:
\(\frac{bc}{a^2+ab+bc+ca}+\frac{ca}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{ab}{c^2+ab+bc+ca}\ge\frac{3}{4}\) (*)
Từ điều kiện ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\left(x,y,z>0\right)\)
\(\Rightarrow x+y+z=1\)
(*) \(\Leftrightarrow\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}+\frac{y^2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{z^2}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Theo Cô-si: \(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}+\frac{9}{16}\left(x+y\right)\left(z+x\right)\ge\frac{3}{2}x\)
Nhứng phần kia tương tự
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{9}{16}\left[\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)\right]\ge\frac{3}{4}\)
Lần trước làm không đúng hy vọng bây giờ gỡ lại được
