Question

[Hoàng Phúc]

Chứng minh bđt Cô-si với 3 số ko âm a,b,c:

(a+b+c)/3 \(\ge\)³(căn abc)

dùng nhiều rồi mà ko biết cm sao , m.n giúp....

Answer 1

[alibaba nguyễn]

\(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)^3+c-3\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)-3\sqrt[3]{abc}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ac}\right)\ge0\)

Mà ta có \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\ge0\\\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ac}\right)\ge0\end{cases}}\)nên cái BĐT là đúng

Answer 2

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

• Ta có BĐT giữa trung bình nhân và trung bình cộng : \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) ; \(\frac{c+d}{2}\ge\sqrt{cd}\)
• Trước hết ta chứng minh BĐT \(\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\)

Áp dụng BĐT trên , ta được :  \(\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)}{2}.\frac{\left(c+d\right)}{2}}\ge2\sqrt{\sqrt{ab}.\sqrt{cd}}=2\sqrt[4]{abcd}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\) (*)

• Đặt \(d=\frac{a+b+c}{3}\) thì \(a+b+c=3d\) (**)

Từ (*) và (**) ta có : \(\frac{3d+d}{4}\ge\sqrt[4]{abcd}\Leftrightarrow d\ge\sqrt[4]{abcd}\Leftrightarrow d^4\ge abcd\Leftrightarrow d^3\ge abc\Leftrightarrow d\ge\sqrt[3]{abc}\) 

hay \(\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\) (đpcm)

Bạn tự xét dấu đẳng thức nhé!