cho \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
chứng minh rằng trong 3 số a,b,c tồn tại hai số bằng nhau
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 4 2019
\(abc\ne0\)
\(abc\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)=abc\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2=b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-b^2c+ab^2-a^2b+bc^2-ac^2=0\)
\(\Leftrightarrow c\left(a-b\right)\left(a+b\right)-ab\left(a-b\right)-c^2\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ac+bc-ab-c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c\left(a-c\right)-b\left(a-c\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(a-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\) (đpcm)
M
5 tháng 12 2017
a/b+b/c+c/a=b/a+c/b+a/c
<=> a/b-b/a+b/c-c/b+c/a-a/c=0
<=> a^2c-c^2a+c^2b-b^2c+b^2a-a^2b=0
<=> ac(a-c)+bc(c-b)+ab(b-a)=0
<=> ac(a-c)+bc(c-a+a-b)+ab(b-a)=0
<=> ac(a-c)+bc(c-a)+bc(a-b)+ab(b-a)=0
<=> (a-c)(a-b)c+(a-b)(c-a)b=0
<=> (a-b)(c-a)(b-c)=0
<=> a=b hay c=a hay b=c
Vậy trong ba số a,b,c tồn tại 2 số =nhau
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 11 2017
Lời giải:
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{abc}=\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{abc}\)
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2=a^2b+b^2c+c^2a\)
\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=0\)
\(\Leftrightarrow ab(b-a)+bc(c-b)+ac(a-c)=0\)
\(\Leftrightarrow ab(b-a)-bc[(b-a)+(a-c)]+ac(a-c)=0\)
\(\Leftrightarrow (b-a)(ab-bc)+(a-c)(ac-bc)=0\)
\(\Leftrightarrow b(b-a)(a-c)-c(a-c)(b-a)=0\)
\(\Leftrightarrow (b-a)(a-c)(b-c)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=a\\a=c\\b=c\end{matrix}\right.\)
Do đó luôn tồn tại hai số bằng nhau (đpcm)
23 tháng 11 2017
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2c}{abc}+\dfrac{b^2a}{abc}+\dfrac{c^2b}{abc}=\dfrac{b^2c}{abc}+\dfrac{a^2b}{abc}+\dfrac{c^2a}{abc}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}=\dfrac{b^2c+a^2b+c^2a}{abc}\)
\(\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=b^2c+a^2b+c^2a\)
\(\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b-b^2c-a^2b-c^2a=0\)
\(\Rightarrow\left(a^2c-c^2a\right)+\left(b^2a-a^2b\right)+\left(c^2b-b^2c\right)=0\)
\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-b\right)=0\)
\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-b+a-a\right)=0\)
\(\Rightarrow ac\left(a-c\right)+ab\left(b-a\right)+bc\left(c-a\right)+bc\left(a-b\right)\)
\(\Rightarrow c\left(a-c\right)\left(a-b\right)+b\left(a-b\right)\left(c-a\right)=0\)
\(\Rightarrow c\left(a-c\right)\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)\left(a-c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=b\\a=c\\a=b\end{matrix}\right.\)(Tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau)
4 tháng 9 2018
ta có: \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{ba+ac+ab}{abc}\)
mà abc = 1
\(\Rightarrow a+b+c=ba+ac+ab\)
Lại có: (a-1).(b-1).(c-1)
= (ab - a - b + 1) . ( c-1)
= abc - ac - bc + c - ab + a + b - 1
= ( abc - 1) +( a+ b + c ) - ( ac + bc + ab)
= ( 1 - 1) + ( a + b + c) - ( a + b + c)
= 0
=> (a-1).(b-1).(c-1) = 0
=> trong 3 số a;b;c tồn tại một số bằng 1
TK
12 tháng 5 2019
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
S
9 tháng 2 2019
Áp dụng ta đc:
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}=\frac{5a+5b+5c}{a+b+c}=5\left(\text{vì: a,b,c khác 0}\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\c+a=2b\\a+b=2c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=6\)
1 tháng 5 2019
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{3a+b+c}{a}-2=\frac{a+3b+c}{b}-2=\frac{a+b+3c}{c}-2\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)
Xét \(a+b+c\ne0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Thay vào P ta được P=6
Xét \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b\)
Thay vào P ta được P= -3
Vậy P có 2 gtri là ...........
kết quả sẽ ra là
(a-b)(a-c)(b-c)=0
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\)
\(\frac{a^2c}{abc}+\frac{b^2a}{abc}+\frac{c^2a}{abc}=\frac{b^2c}{abc}+\frac{c^2a}{abc}+\frac{a^2b}{abc}\)
\(=>a^2c+b^2a+c^2a=b^2c+c^2a+a^2b\)
Vì \(c^2a=c^2a\)=> \(a^2c+b^2a=b^2c+a^2b\)
=>đpcm, hình như mình giải thiếu điều kiện thì phải