Cho a,b,c là các số thực dương thỏa \(a+b+c=1\). Tìm GTLN của :
\(P=\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NY
3 tháng 2 2020
1.Ta có: \(c+ab=\left(a+b+c\right)c+ab\)
\(=ac+bc+c^2+ab\)
\(=a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\)
\(=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
CMTT \(a+bc=\left(c+a\right)\left(b+c\right)\)
\(b+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)
Từ đó \(P=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}\right)\)( theo BĐT AM-GM)
CMTT\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+b}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.3\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy /...
PG
3 tháng 2 2020
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{ab^2-b^2}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}\)
\(=a+1-\frac{b\left(a+1\right)}{2}=a+1-\frac{ab+b}{2}\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(RHS\ge a+b+c+3-\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{2}\)
\(\ge a+b+c+3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)
8 tháng 6 2016
Ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}}{2}\)
\(\frac{ca}{\sqrt{b+ac}}=\frac{ca}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}}{2}\)
\(\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}\)
Cộng 3 vế ta được: \(P\le\frac{\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}}{2}\)
\(=\frac{\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
Vậy MinP = 1/2
8 tháng 6 2016
\(\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a.1+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
19 tháng 7 2021
\(P=\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\)
Ta có:
\(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{ab+1+a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab+abc}+\frac{1}{a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right),\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\right)\)
Cộng lại vế với vế ta được:
\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu \(=\)khi \(a=b=c=1\).
LL
2 tháng 6 2019
Có bất đẳng thức xy+zt≥x+zy+txy+zt≥x+zy+t với x,z≥0x,z≥0 ,y,t>0y,t>0
Giả sử cc lớn nhất trong các số a,b,ca,b,c thì c≥13c≥13
Do a,b,c≥0a,b,c≥0 nên
Ta có P2≥aa+1+bb+1+cc+1≥a+ba+b+2+cc+1P2≥aa+1+bb+1+cc+1≥a+ba+b+2+cc+1
Mà a+ba+b+2+cc+1−12=1−c3−c+c−12(c+1)=(1−c)(3c−1)(3−c)(2c+2)≥0
3 tháng 6 2019
\(P=\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}=\frac{ab}{c+a+b+c}+\frac{bc}{a+b+c+a}+\frac{ca}{b+c+a+b}\)
Áp dụng BĐT Cô Si ta có :
\(P=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\sum\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\left[\frac{b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{c\left(a+b\right)}{a+b}\right]=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)
Vậy GTLN của P là \(\frac{1}{4}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
27 tháng 3 2019
Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c.1+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+c}.\frac{b}{b+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)( bđt Cosi)
Tương tự như trên: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right);\sqrt{\frac{ac}{b+ac}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)=\frac{3}{2}\)
"=" Xảy ra khi và chỉ khi:
\(\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+c}\Leftrightarrow a\left(b+c\right)=b\left(a+c\right)\Leftrightarrow a=b\)
\(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{b+c}\Leftrightarrow a=c\)
\(\frac{c}{a+c}=\frac{b}{a+b}\Leftrightarrow b=c\)
\(a+b+c=1\)
Từ các điều trên ta có đc: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy GTLN của P=3/2 khi và chỉ khi a=b=c=1/3
Áp dụng Bđt \(\frac{4}{x+y}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) ta có:
\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự:
\(\frac{bc}{a+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}\right)\)\(;\)\(\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{c+b}\right)\)
Cộng theo vế ta được:
\(P\le\frac{1}{4}\left[\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{c+b}\right)+\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{c+a}\right)+\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{ac}{a+b}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}\cdot\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)