chứng minh rằng (a+b)(a+2b)(a+3b)(a+4b)-b^4 là 1 số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
3
4 tháng 11 2017
giải toán , trước đây mua 15 quyển vở phải trả 105000 đồng,hiện nay giá bán mỗi quyển vở giảm đi 2000 đồng, hỏi với 105000 đồng , hiện nay có thể mua được bao nhiêu quyển vở như thế
4 tháng 11 2017
\(\left(a+b\right)\left(a+2b\right)\left(a+3b\right)\left(a+4b\right)+b^4\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+4b\right)\left(a+2b\right)\left(a+3b\right)+b^4\)
\(=\left(a^2+5ab+4b^2\right)\left(a^2+5ab+6b^2\right)+b^4\)
Đặt\(a^2+5ab+5b^2=t\)
Biểu thức đã cho bằng\(\left(t-b^2\right)\left(t+b^2\right)+b^4\)
\(=t^2-b^4+b^4=t^2\)
Mà\(a;b\in Z\Rightarrow t\in Z\Rightarrow t^2\)là số chính phương
26 tháng 8 2021
a: \(A=\left(a+1\right)\left(a+3\right)\left(a+5\right)\left(a+7\right)+16\)
\(=\left(a^2+8a+7\right)\left(a^2+8a+15\right)+16\)
\(=\left(a^2+8a\right)^2+22\left(a^2+8a\right)+105+16\)
\(=\left(a^2+8a\right)^2+22\left(a^2+8a\right)+121\)
\(=\left(a^2+8a+11\right)^2\)
b: \(\left(a-b\right)\left(a-2b\right)\left(a-3b\right)\left(a-4b\right)+b^4\)
\(=\left(a^2-5ab+4b^2\right)\left(a^2-5ab+6b^2\right)+b^4\)
\(=\left(a^2-5ab\right)^2+10b^2\left(a^2-5ab\right)+24b^4+b^4\)
\(=\left(a^2-5ab\right)^2+2\cdot\left(a^2-5ab\right)\cdot5b^2+\left(5b^2\right)^2\)
\(=\left(a^2-5ab+5b^2\right)^2\)
LQ
0
NC
1
C
17 tháng 3 2016
Có bổ đề sau: \(a^2=pq\) với \(a,p,q\in Z^+\) và \(\left(p,q\right)=1\) thì p,q là hai số chính phương
\(2a^2-2b^2+a-b=b^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)(*)
Gọi d là UWCLN của a-b và 2a+2b+1 ta có từ (*) b chia hết d.
a-b chia hết cho d nên 2a-2b chia hết cho d . Vậy 2a+2b+1-(2a-2b) chia hết d
nên 4b+1 chia hết d mà b chia hết cho d nên 1 chia hết d. Vậy hai số a-b và 2a+2b+1 nguyên tố cùng nhau
Áp dụng bổ đề có đpcm
NK
2
4 tháng 2 2021
Ta có: \(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow\left(2a^2-2b^2\right)+\left(a-b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+2b\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)
*CM 2a+2b+1 và a-b nguyên tố cùng nhau
=> 2a+2b+1 cũng là 1 SCP
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
4 tháng 2 2021
Ta có:
\(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2b^2+a-b=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)
Ta có:
Đặt \(d=\left(a-b,2a+2b+1\right)\).
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b⋮d\\2a+2b+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2⋮d^2\Rightarrow b⋮d\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)+b=a⋮d\)
\(\Rightarrow\left(2a+2b+1\right)-2a-2b=1⋮d\Rightarrow d=1\).
Do đó \(a-b,2a+2b+1\)là hai số chính phương.
( a + b ) ( a + 2b ) ( a + 3b ) ( a + 4b ) + b4
= ( a2 + 5ab + 4b2 ) ( a2 + 5ab + 6b2 ) + b4
= ( a2 + 5ab + 5b2 - b2 ) ( a2 + 5ab + 5b2 + b2 ) + b4
= ( a2 + 5ab + 5b2 ) - b4 + b4
= a2 + 5ab + 5b2 là số chính phương