Question

[Phan Diệu Linh]

chứng tỏ các biểu thức sau là số chính phương

1³+ 2³+ 3³+4³ + 5³+6³

Answer 1

[Le Thi Khanh Huyen]

\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3\)

\(=1+8+27+64+125+216\)

\(=441=21^2\)

Mình có 1 cách chứng minh biểu thức này đúng với mọi số tự nhiên n :) Bạn có thể tham khảo.

Ta sẽ sử dụng quy nạp.

Nếu bạn chưa học quy nạp thì mình giải thích ngắn gọn thế này : Bây giờ mình cần chứng minh biểu thức nào đó đúng với mọi n, ví dụ A chia hết cho n với mọi n, hoặc A > n với mọi n :). Số n chỉ là mình đặt ra, bạn có thể đặt a,b,c,d,... tùy ý, miễn là nó tượng trưng.

Bây giờ ta có 1 số bất kỳ thỏa mãn biểu thức đó, tức là giả sử tồn tại số n nào đó mà khiến cho biểu thức đúng, ta chỉ cần chứng minh số liền sau của k cũng thỏa mãn thì biểu thức hoàn toàn đúng với mọi n.

Ta sẽ chứng minh \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)

Với n = 1 thì đẳng thức đúng.

Với n > 1. Coi tồn tại số n thỏa mãn đẳng thức trên. \(\Rightarrow1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh n + 1 cũng thỏa mãn.

Ta có :

\(1^3+2^3+...+n^3+\left(n+1\right)^3\)

\(=\left(1+2+3+...+n\right)^2+\left(n+1\right)^3\)

\(=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2+\left(n+1\right)^3\)

\(=\left(n+1\right)^2.\frac{n^2}{4}+\left(n+1\right)^2\frac{4n+4}{4}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)^2\left[n^2+4n+4\right]}{4}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)^2.\left(n+2\right)^2}{4}\)

\(=\left[\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\right]^2\)

Chắc chắn \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)chia hết cho 2, nên biểu thức đó là một số chính phương.

Vậy biểu thức này đúng với mọi n :\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) 

Ví dụ bài của bạn vừa rồi :

\(1^3+2^3+...+6^3=\left(1+2+3+...+6\right)^2=21^2\)