Question

[Phan Cao Toàn]

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh các tứ giác BDHF, BCEF nội tiếp

b) Chứng minh FC là tia phân giác của góc EFD

c) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M . Đường thẳng qua B và song song với AC cắt AM tại I và cắt AH tại K . Chứng minh tam giác HIK cân

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) Dễ thấy tứ giác BDHF có \(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=90^o+90^o=180^o\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác BDHF nội tiếp (dhnb)

Tứ giác BCEF có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác BCEF nội tiếp (dhnb)

b) Tứ giác BDHF nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow\widehat{DFH}=\widehat{DBH}\) hay \(\widehat{DFC}=\widehat{EBC}\)

Tứ giác BCEF nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow\widehat{EFC}=\widehat{EBC}\)

Từ đó ta có \(\widehat{DFC}=\widehat{EFC}\left(=\widehat{EBC}\right)\)

\(\Rightarrow\) FC là tia phân giác \(\widehat{EFD}\) (đpcm)

c) Ta có \(\widehat{DFC}=\widehat{EFC}\) (cmt) \(\Rightarrow90^o-\widehat{DFC}=90^o-\widehat{EFC}\)\(\Rightarrow\widehat{AFE}=\widehat{BFD}\)

Mà \(\widehat{AFE}=\widehat{BFM}\) (2 góc đối đỉnh) \(\Rightarrow\widehat{BFD}=\widehat{BFM}\)

\(\Rightarrow\) FB là tia phân giác của \(\widehat{DFM}\)

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác DFM, ta có \(\dfrac{FD}{FM}=\dfrac{BD}{BM}\)

Lại có FC là tia phân giác \(\widehat{EFD}\) (cmt), theo tính chất đường phân giác của góc ngoài của tam giác, ta có \(\dfrac{FD}{FM}=\dfrac{CD}{CM}\)

Do đó, ta có \(\dfrac{BD}{BM}=\dfrac{CD}{CM}\)\(\Rightarrow\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BM}{CM}\) (1)

\(\Delta MAC\) có \(BI//AC\left(gt\right)\) nên \(\dfrac{BI}{AC}=\dfrac{BM}{CM}\) (2) (định lý Ta-lét)

\(\Delta ACD\) có \(BK//AC\left(gt\right)\) nên \(\dfrac{BK}{AC}=\dfrac{BD}{CD}\) (3) (hệ quả định lý Ta-lét)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\dfrac{BI}{AC}=\dfrac{BK}{AC}\Rightarrow BI=BK\)

\(\Rightarrow\) B là trung điểm IK \(\Rightarrow\) HB là trung tuyến của \(\Delta HIK\)

Mặt khác AC//IK (gt), lại có \(BE\perp AC\) nên \(BE\perp IK\), từ đó suy ra HB là đường cao của \(\Delta HIK\)

\(\Delta HIK\) có HB vừa là đường cao vừa là trung tuyến \(\Rightarrow\Delta HIK\) cân tại H (đpcm)