a,b>0. chứng minh rằng a^3/b>=a^2+ab-b^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 3 2018
a)\(a^2+ab+b^2=a^2+\dfrac{2ab}{2}+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\)
\(=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\forall a,b\)
b)\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\forall a,b\)
HL
0
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
KT
27 tháng 4 2018
\(\frac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\)
\(\Rightarrow\)\(a^3\ge a^2b+ab^2-b^3\)
\(\Leftrightarrow\)\(a^3-a^2b-ab^2+b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2-ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng do a,b > 0; (a-b)2 >= 0 )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
MA
1
16 tháng 6 2016
a) Ta có:
(a + b)2 >= 0 => a2 + b2 >= -2ab
(a - 1)2 >= 0 => a2 + 1 >= 2a
(b - 1)2 >= 0 => b2 + 1 >= 2b
Cộng từng vế ta được: 2a2 +2b2 +2 >= -2ab + 2a +2b => a2 + b2 + 1 >= -ab + a + b
Dấu "=" xảy ra khi a= - b; a = 1; b = 1 không đạt được nên không xảy ra dấu bằng do đó:
a2 + b2 + 1 > -ab + a + b .đpcm.
b) a + b + c = 0 => a + b = -c => (a + b)3 = -c3 => a3 + 3a2b +3 ab2 + b3 = -c3
=> a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b) (*)
Mà a + b + c = 0 => a + b = -c
=> (*) <=> a3 + b3 + c3 = 3abc .đpcm.
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
10 tháng 8 2016
a)a2+b2+c2+3=2(a+b+c)
=>a2+b2+c2+1+1+1-2a-2b-2c=0
=>(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0
=>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1
-->Đpcm
b)(a+b+c)2=3(ab+ac+bc)
=>a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
=>a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
=>(a2- 2ab+b2)+(b2-2bc+c2) + (c2-2ca+a2) = 0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
c)a2+b2+c2=ab+bc+ca
=>2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)
=>2a2+2b2+c2=2ab+2bc+2ca
=>2a2+2b2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=0
=>(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
Ta có a3 + b3 - ab(a + b) \(\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)(a + b)(a2 - ab + b2 - ab)\(\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)(a + b)(a - b)2 \(\ge0\)(đúng)
Vậy cái ban đầu là đúng
giúp cái -_-