Question

[Võ Hồ Kim Quyên]

Cho tam giác ABC CÓ BA góc nhọn (AB<AC). Vẽ các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại M

a) C/m: ABE đồng dạng ACF

b) C/m: AD.CM=CD.AB

c) Gọi K là giao điểm của EF và AD. C/m: AK.MD=AD.MK

(không cần vẽ hình, giúp mình câu c thôi ạ, cảm ơn<3)

Answer 1

[Trần Tuấn Hoàng]

c) -△AEF và △ABC có: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(△ABE∼△ACF), \(\widehat{BAC}\) chung.

\(\Rightarrow\)△AEF∼△ABC (c-g-c) \(\Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\).

-△MFB và △MEC có: \(\widehat{FMB}=\widehat{EMC}\) , \(\widehat{MFB}=\widehat{MEC}=90^0\)

\(\Rightarrow\)△MFB∼△MEC (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{MF}{ME}=\dfrac{MB}{MC}\).

-△MEF và △MCB có: \(\dfrac{MF}{MB}=\dfrac{ME}{MC}\left(\dfrac{MF}{ME}=\dfrac{MB}{MC}\right),\widehat{EMF}=\widehat{CMB}\)

\(\Rightarrow\)△MEF∼△MCB (c-g-c) \(\Rightarrow\dfrac{S_{MEF}}{S_{MCB}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)

\(\dfrac{AK}{AD}.\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{S_{AKE}}{S_{ADC}}=\dfrac{S_{AFK}}{D_{ADB}}=\dfrac{S_{AKE}+S_{AFK}}{S_{ADC}+S_{ADB}}=\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)

\(\dfrac{MK}{MD}.\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{S_{MEK}}{S_{MDC}}=\dfrac{S_{MFK}}{S_{MDB}}=\dfrac{S_{MEK}+S_{MFK}}{S_{MDC}+S_{MDB}}=\dfrac{S_{MEF}}{S_{MCB}}=\left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{MK}{MD}\Rightarrow AK.MD=MK.AD\)