Cho a.b.c=1 và a+b+c=1/a+1/b+1/c. Chưng minh rằng có ít nhất một trong ba số a,b,c bằng 1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 3 2017
ta có: \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow abc-ab-bc-ca+a+b+c-1=0\)(vì abc=1)
tự phân tích sẽ ra là \(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
suy ra một trong 3 số =1
5 tháng 3 2020
Vừa làm vừa nháp nên bạn chú ý nhé !
ít nhất 1 trong 3 số bằng 1 thì ta nghĩ đến \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)
\(=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)\)
\(=abc-ab-ac-bc+a+b+c-1\)
\(=a+b+c-ab-bc-ca\) ( 1 )
Biến đổi giả thiết:\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}=ab+bc+ca\)
Khi đó ( 1 ) = 0 => đpcm
a
\(\left(n^2-8\right)^2+36\)
\(=n^4-16n^2+64+36\)
\(=\left(n^4+20n^2+100\right)-36n^2\)
\(=\left(n^2+10\right)^2-\left(6n\right)^2\)
\(=\left(n^2-6n+10\right)\left(n^2+6n+10\right)\)
Để \(\left(n^2-8\right)^2+36\) là SNT thì \(n^2-6n+10=1\left(h\right)n^2+6n+10=1\)
Mà n là số tự nhiên nên \(n^2+6n+10>n^2-6n+10\)
\(\Rightarrow n^2-6n+10=1\Leftrightarrow n^2-6n+9=0\)
\(\Leftrightarrow\left(n-3\right)^2=0\Leftrightarrow n=3\)
Thay n=3 vào cái ban đầu ta được \(\left(n^2-8\right)^2+36=37\) ( là số nguyên tố )
5 tháng 3 2020
b/\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\Rightarrow a+b+c=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow a+b+c-ab-bc-ca=0\)
\(\Rightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ca-1=0\)
\(\Rightarrow\left(a-ab\right)+\left(b-1\right)+\left(c-bc\right)+\left(abc-ac\right)=0\)
\(\Rightarrow-a\left(b-1\right)+\left(b-1\right)-c\left(b-1\right)+ac\left(b-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(-a+1-c+ac\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
<=> a-1 =0 hoặc b-1 =0 hoặc c-1=0
<=> a=1 hoặc b=1 hoặc c=1
Vậy trong 3 số a,b,c có ít nhất 1 số bằng 1
9 tháng 7 2019
\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)=> \(a+b+c=\frac{ab+bc+ac}{abc}=ab+bc+ac\)
Ta có \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=\left(abc-1\right)+a+b+c-ab-bc-ac=0\)
=> có ít nhất 1 trong 3 số a,b,c bằng 1
Vậy có ít nhất 1 trong 3 số a,b,c bằng 1
MH
24 tháng 2 2022
Thôi câu đó mình làm được rồi, các bạn giúp mình câu này nha
Cho \(a>b\ge0\). CMR: \(\dfrac{a^4+b^4}{a^4-b^4}-\dfrac{ab}{a^2-b^2}+\dfrac{a+b}{2\left(a-b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
24 tháng 2 2022
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\\ \to ab+bc+ca=abc=1\)
Ta có \(A=\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)\)
\(\to A=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(\to A=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)
Vì $a,b,c\in \mathbb{Q}\to A\in \mathbb{Q}$
7 tháng 10 2015
Thay 1 = abc ta có: \(a+b+c=\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\)
<=> a + b + c = bc + ac + ab
<=> (a - ac) + (b - bc) + (c - ab) = 0
<=> a(1 - c) + b(1 - c) + (c - \(\frac{1}{c}\)) = 0
<=> ca(1 - c) + cb(1 - c) + (c - 1)(c + 1) = 0
<=> (1 - c)(ca + cb - c - 1) = 0
<=> (1 - c)[c(a -1) + (cb - abc)]= 0
<=> (1 - c)[c(a - 1) + cb(1 - a)]= 0
<=> (1 - c)(a - 1)(c - cb) = 0
<=> (1 - c)(a - 1)(1 - b).c = 0 <=> a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1
Vậy....
KN
9 tháng 11 2019
Câu hỏi của 『-Lady-』 - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Tham khảo ở link trên nha
22 tháng 9 2019
Câu hỏi của đàm anh quân lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo cách làm tương tự nhé!
Ta có: \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ac}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac-a-b-c=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac-a-b-c+abc-1=0\)(Vì abc = 1)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)Hoặc a - 1 = 0 hoặc b - 1 = 0 hoặc c - 1 = 0
\(\Leftrightarrow\)Hoặc a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1
Vậy có ít nhất một trong ba số a,b,c bằng 1 (đpcm)