Chứng minh rằng
\(\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}=1+2+3+...+n\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 8 2017
Chứng minh
\(\sqrt[3]{\left(n+1\right)^2}-\sqrt[3]{n^2}< \frac{2}{3\sqrt[3]{n}}\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{n\left(n+1\right)^2}< 2+3n\)
Lập phương 2 vế rồi rút gọn được
\(\Leftrightarrow9n+8>0\)
Đúng với mọi n dương. Ta có ĐPCM.
Cái còn lại tương tự
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Do đó:
\(VT=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(VT=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}< 1\) (đpcm)
DH
2
NM
15 tháng 6 2017
\(A=\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}+...}}\\ \)>0
a)
\(A=\sqrt{4+A}\Leftrightarrow A^2=4+A\Leftrightarrow A^2-A-4=0\)
\(\Delta=1+16=17\)
\(A_1=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}< \dfrac{1+5}{2}=3\)
\(A_2=\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\)<0 loại
Vậy A < 3
b) Chứng minh quy nạp
(13+23+.....+n3)=(1+2+3+...+n)2=> KL
N
15 tháng 6 2017
b).đặt \(A=\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+n^3}\)
ta có hằng đẳng thức: \(x^3-x=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)
\(1^3+2^3+3^3+...+n^3=1^3-1+2^3-2+3^3-3+...+n^3-n+\left(1+2+3+...+n\right)\)\(=0+1.2.3+2.3.4+...+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)(*)
Xét \(B=1.2.3+2.3.4+...+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
\(4B=1.2.3.4+2.3.4.4+...+\left(n-1\right)n\left(n+1\right).4=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+...+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{4}\)
từ (*): \(1^3+2^3+...+n^3=\dfrac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{4}+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\left[\dfrac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{2}+1\right]=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}.\dfrac{n^2+n-2+2}{2}=\left[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
do đó \(A=\sqrt{\left[\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=1+2+...+n\)(đpcm)
19 tháng 6 2016
Ta có : \(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{k}}{k\left(k+1\right)}=\sqrt{k}\left(\frac{1}{k\left(k+1\right)}\right)=\sqrt{k}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\sqrt{k}\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
Áp dụng : \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{n+}}< 2\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dễ thấy \(VT=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\), vậy cần chứng minh
\(1^3+2^3+....+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Điều này có thể chứng minh bằng quy nạp.