Các số thực x,y,z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2-2x+4y-6y=15\)CMR:
\(|2x-3y+4z-20|\le29\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 10 2021
Giả thiết tương đương \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2=29\).
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có:
\(\left(2x-3y+4z-20\right)^2=\left[2\left(x-1\right)-3\left(y+2\right)+4\left(z-3\right)\right]^2\le\left(2^2+3^2+4^2\right)\left[\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-3\right)^2\right]=29^2\Rightarrow\left|2x-3y+4z-20\right|\le29\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2023
\(2x^2+3y^2+4z^2=21\Rightarrow2x^2\le21-3.1^2-4.1^2=14\)
\(\Rightarrow x\le\sqrt{7}\)
Tương tự ta có \(y\le\sqrt{5}\) và \(z\le2\)
Do đó:
\(\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\Rightarrow z^2+2\le3z\Rightarrow4z^2+8\le12z\) (1)
\(\left(x-1\right)\left(2x-10\right)\le0\Rightarrow2x^2+10\le12x\) (2)
\(\left(y-1\right)\left(3y-9\right)\le0\Leftrightarrow3y^2+9\le12y\) (3)
Cộng vế (1);(2) và (3):
\(\Rightarrow12\left(x+y+z\right)\ge2x^2+3y^2+4z^2+27\ge48\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge4\)
\(M_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;2\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2023
Theo chứng minh ban đầu ta có: \(z\le2\Rightarrow z-2\le0\)
Theo giả thiết \(z\ge1\Rightarrow z-1\ge0\)
\(\Rightarrow\left(z-1\right)\left(z-2\right)\le0\)
Tương tự: \(x< \sqrt{5}< 5\Rightarrow x-5< 0\Rightarrow2x-10< 0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2x-10\right)\le0\)
y cũng như vậy
G
5 tháng 10 2018
Mình làm một câu để bạn tham khảo, sau đó bạn áp dụng làm các bài còn lại nha ^^
Có gì không hiểu bạn ib nha ^^
1. \(2x=3y-2x\left(1\right)\) và \(x+y=14\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow4x=3y\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, có:
\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{x+y}{3+4}=\dfrac{14}{7}=2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2.3=6\\y=2.4=8\end{matrix}\right.\)
Bạn tự kết luận ^^
DT
1
HB
13 tháng 4 2017
\(\begin{cases} 2x+y+3z=6 (1) \\ 3x+4y-3z=4 (2) \end{cases} \)
Từ hệ phương điều kiện, ta có:
Lấy (1) + (2) ta được: 5x+5y= 10 \(\Rightarrow\) x+y=2 \(\Leftrightarrow\) y=2-x (3)
từ(1) ta suy ra y=6-3z-2x thế biểu thức vào phương trình (2) , ta được :
-5x-15z=-20 \(\Leftrightarrow\) x+3z=4 \(\Leftrightarrow\) z =\(\dfrac{4}{3} - \dfrac{x}{3}\) (4)
thay (4) và (2) vào P ta được :
P= 2x+3y-4z = 2x +3.(2-x)- 4.(\(\dfrac{4}{3}-\dfrac{x}{3}\)) =2x+6-3x-\(\dfrac{16}{3}+\dfrac{4x}{3} = \dfrac{x}{3}+ \dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\)Min P \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x}{3}\) đạt GTNN mà 3>0 cố định \(\Rightarrow\) Min P\(\Leftrightarrow\) x đạt GTNN
Mà x >= 0, x là số thực nên Min P = \(\dfrac{2}{3}\) ,dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :
x=0
Ta có x + y = 2 \(\Rightarrow\) y=2 ; z = \(\dfrac {4}{3} - \dfrac {x}{3}\) \(\Rightarrow \) z =\(\dfrac{4}{3}\)
Vậy Min P =\(\dfrac{2}{3}\) khi x =0, y =2, z = \(\dfrac{4}{3}\)
DT
1
TT
1
7 tháng 8 2017
\(x^2+9y^2+4z^2-2x+12y-4z+20=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(9y^2+12y+4\right)+\left(4z^2-4z+1\right)+14=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(3y+2\right)^2+\left(2z-1\right)^2+14=0\)(1)
Ta thấy\(\left(x-1\right)^2+\left(3y+2\right)^2+\left(2z-1\right)^2+14\ge14>0\forall x;y;z\)
Nên dấu (1) không thể xảy ra , Hay \(x;y;z\) ko tồn tại (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 3 2022
\(1=2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\le x+y+\dfrac{1}{2}\left(x+z\right)=\dfrac{1}{2}\left(3x+2y+z\right)\)
\(\Rightarrow3x+2y+z\ge2\)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{5xy}{z}+\dfrac{4xz}{y}+\dfrac{3yz}{x}\ge4\)
Ta có:
\(VT=3\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\right)+2\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\right)+\left(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\right)\)
\(VT\ge3.2\sqrt{\dfrac{x^2yz}{yz}}+2.2\sqrt{\dfrac{xy^2z}{xz}}+2\sqrt{\dfrac{xyz^2}{xy}}=2\left(3x+2y+z\right)\ge2.2=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
\(-6y\) hay \(-6z\) bạn check lại đề cho mik :)