Cho các số thực dương thỏa mãn a+b+c =9. CMR: \(\frac{a^2}{b+1}+\frac{b^2}{c+1}+\frac{c^2}{a+1}\ge\frac{27}{4}\)Mong các cao nhân hỗ trọ bằng BĐT Cauchy ạ!
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2022
\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{9^2}{9+3}=\dfrac{27}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)
LS
Lê Song Phương
CTVHS
30 tháng 3 2022
Chứng minh BĐT \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) với \(\left(a,b,c>0\right)\)
Trước hết ta cm \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2b+y^2a}{ab}\ge\frac{x^2+y^2+2xy}{a+b}\)\(\Leftrightarrow\left(x^2b+y^2a\right)\left(a+b\right)\ge ab\left(x^2+y^2+2xy\right)\)(vì tất cả các tử số và mẫu số đều dương)
\(\Leftrightarrow x^2ab+y^2ab+x^2b^2+y^2a^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)\(\Leftrightarrow x^2b^2-2abxy+y^2a^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(xb-ya\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT được cm
Để có đpcm thì ta chỉ cần áp dụng 2 lần BĐT ta vừa chứng minh xong:
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2022
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(a^2+3\ge2\sqrt{3a^2}=2\sqrt{3}a\)
Tương tự: \(b^2+3\ge2\sqrt{3}b\) ; \(c^2+3\ge2\sqrt{3}c\)
Cộng vế: \(a^2+b^2+c^2+9\ge2\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\le\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{2\sqrt{3}}=\dfrac{9+9}{2\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow-\left(a+b+c\right)\ge-3\sqrt{3}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
\(\dfrac{a^4}{b+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(b+2\right)\ge2\sqrt{\dfrac{9a^4\left(b+2\right)}{\left(b+2\right)\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}=\dfrac{6a^2}{2+\sqrt{3}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{b^4}{c+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(c+2\right)\ge\dfrac{6b^2}{2+\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{c^4}{a+2}+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)}\left(a+2\right)\ge\dfrac{6c^2}{2+\sqrt{3}}\)
Cộng vế:
\(P+\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(a+b+c+6\right)\ge\dfrac{6}{2+\sqrt{3}}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}-\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\left(a+b+c+6\right)\ge\dfrac{54}{2+\sqrt{3}}-\dfrac{9}{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}.\left(3\sqrt{3}+6\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{27}{2+\sqrt{3}}=27\left(2-\sqrt{3}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
LS
Lê Song Phương
CTVHS
29 tháng 3 2022
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Khi đó \(\frac{a^4}{b+2}=\frac{1}{3}\)
Ta cần ghép \(\frac{a^4}{b+2}\)với hạng tử \(k\left(b+2\right)\)thỏa mãn khi Cô-si thì dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
Lại có \(b+2=3\)
Đồng thời khi Cô-si dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a^4}{b+2}=k\left(b+2\right)\)hay \(\frac{1}{3}=k.3\)\(\Leftrightarrow k=\frac{1}{9}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{a^4}{b+2}\)và \(\frac{b+2}{9}\), ta có:
\(\frac{a^4}{b+2}+\text{}\frac{b+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^4}{b+2}.\frac{b+2}{9}}=\frac{2a^2}{3}\)
Tương tự, ta có \(\frac{b^4}{c+2}+\text{}\frac{c+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{b^4}{c+2}.\frac{c+2}{9}}=\frac{2b^2}{3}\)và
\(\frac{c^4}{a+2}+\text{}\frac{a+2}{9}\ge2\sqrt{\frac{c^4}{a+2}.\frac{a+2}{9}}=\frac{2c^2}{3}\)
CỘng vế theo vế từng BĐT, ta được \(P+\frac{a+2+b+2+c+2}{9}\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\ge2\)(vì \(a^2+b^2+c^2=3\)) \(\Leftrightarrow P\ge2-\frac{\left(a+b+c\right)+6}{9}\)(1)
Ta chứng minh BĐT phụ \(a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)(với \(a,b,c>0\))
Thật vậy, BĐT này \(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le3a^2+3b^2+3c^2\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy BĐT phụ được chứng minh \(\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\sqrt{3.3}=3\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow P\ge2-\frac{3+6}{9}=1\)\(\Rightarrow min_P=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
3 tháng 8 2020
đặt \(\sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}=P\)
phương pháp khảo sát hàm đặc trưng rất hữu hiệu cho những bài bất đẳng thức đối xứng
bài toán cho f(x)+f(y)-f(z) >= A
tìm min, max của S-g(x)+g(y)+g(z)
*nháp
điều kiện x,y,z thuộc D, dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y=z=\(\alpha\). Khảo sát hàm đặc trưng h(t)-g(t)-mf(t) với m=\(\frac{g'\left(\alpha\right)}{f'\left(\alpha\right)}\)sau khi đã tìm được m chỉ cần xét đạo hàm h(t) nữa là xong
ta khảo sát hàm \(f\left(x\right)=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}-mx\)
để hàm số có cực tiểu thì f(x)=0 \(\Leftrightarrow\frac{x^4-1}{x^3\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}-m=0\)nhận thấy "=" ở x=\(\frac{1}{3}\)nên m=\(\frac{80}{-\sqrt{82}}\)
xét hàm số đại diện f(t)=\(\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}}-\frac{80}{\sqrt{82}}t\)trên (0;1) có f(t)\(\ge f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{162}{3\sqrt{82}}\)
vậy thì \(P\ge-\frac{80}{\sqrt{82}}\left(x+y+z\right)+\frac{162}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\)
bài toán được chứng minh xong
TN
10 tháng 9 2017
Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập springtime ấy
RR
14 tháng 5 2018
Ta có : \(a^2+\frac{1}{9}\ge\frac{2}{3}a\)
Suy ra
\(VT\le\Sigma\left(\frac{a}{\left(a^2+1\right)}\right)\le\Sigma\frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}=\Sigma\frac{9a}{6a+8}=\frac{9}{2}-\Sigma\frac{6}{4+3a}\le\frac{9}{2}-\frac{54}{12+3\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{10}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
10 tháng 2 2019
Cách khác nhá.
Lời giải
Ta sẽ c/m:\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\)
Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2+1}-\frac{18}{25}a-\frac{3}{50}\le0\)
Thật vậy:\(VT=\frac{-\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\le0\forall x\)
Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\).Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{18}{25}\left(a+b+c\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
4 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\). Thiếp lập 2 BĐT còn lại:
\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Áp dụng BĐT Svácxơ, ta có:
\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{c^2}{a+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\dfrac{81}{12}=\dfrac{27}{4}\)
Dấu "=" ⇔ a=b=c=3
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{9}{16}\left(b+1\right)\ge2\sqrt{\dfrac{9a^2\left(b+1\right)}{16\left(b+1\right)}}=\dfrac{3a}{2}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{9}{16}\left(c+1\right)\ge\dfrac{3b}{2}\) ; \(\dfrac{c^2}{a+1}+\dfrac{9}{16}\left(a+1\right)\ge\dfrac{3c}{2}\)
Cộng vế:
\(VT+\dfrac{9}{16}\left(a+b+c+3\right)\ge\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{27}{4}\ge\dfrac{27}{2}\Rightarrow VT\ge\dfrac{27}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\)