Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1)\)\(\frac{\overline{ab}}{b}=\frac{\overline{bc}}{c}=\frac{\overline{ca}}{a}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{10a+b}{b}=\frac{10b+c}{c}=\frac{10c+a}{a}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{10a}{b}=\frac{10b}{c}=\frac{10c}{a}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{10a}{b}=\frac{10b}{c}=\frac{10c}{a}=\frac{10a+10b+10c}{a+b+c}=\frac{10\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=10\)
Do đó :
\(\frac{10a}{b}=10\)\(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
\(\frac{10b}{c}=10\)\(\Leftrightarrow\)\(b=c\)
\(\frac{10c}{a}=10\)\(\Leftrightarrow\)\(c=a\)
\(\Rightarrow\)\(a=b=c\)
\(\Rightarrow\)\(A=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)+2016=2016\)
\(2)\)\(\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}=\frac{2\left(\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}}{a+b+c}\)
\(=\frac{10a+b+10b+c+10c+a}{a+b+c}=\frac{11a+11b+11c}{a+b+c}=\frac{11\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=11\)
Do đó :
\(\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=11\)\(\Leftrightarrow\)\(10a+11b+c=11a+11b\)\(\Leftrightarrow\)\(c=a\)
\(\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=11\)\(\Leftrightarrow\)\(10b+11c+a=11b+11c\)\(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
\(\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}=11\)\(\Leftrightarrow\)\(10c+11a+b=11c+11a\)\(\Leftrightarrow\)\(b=c\)
\(\Rightarrow\)\(a=b=c\)
\(\Rightarrow\)\(M=\left(\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{c}{b}+1\right)\left(\frac{a}{c}+1\right)+2016=2.2.2+2016=2024\)
Chúc bạn học tốt ~
Ta có: \(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}+1=\frac{b}{a+c+d}+1=\frac{c}{a+b+d}+1=\frac{d}{a+b+c}+1\)
hay \(\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)
Do các tử số trên bằng nhau nên các mẫu số cũng bằng nhau hay \(b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c\)
Suy ra a = b =c =d
\(\Rightarrow A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=1+1+1+1=4\)
Ta có a+b+c=0
<=> a+b=-c <=>a2+b2-c2=-2ab
b+c=-a <=> b2+c2-a2=-2bc
c+a=-b <=> c2+a2-b2=-2ca
Thay vào biểu thức ta có
\(B=\frac{ab}{-2ab}-\frac{bc}{2bc}-\frac{ca}{2ca}=\frac{-3}{2}\)
ta có :
\(\frac{a+b-c}{ab}-\frac{b+c-a}{bc}-\frac{c+a-b}{ca}=0\Leftrightarrow ac+bc-c^2-\left(ab+ac-a^2\right)-\left(bc+ab-b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2-c^2=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2-c^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{a-b+c}{ca}=0\\\frac{b+c-a}{bc}=0\end{cases}}\)
Vậy ta có đpcm
\(\frac{a+b-c}{ab}-\frac{b+c-a}{bc}-\frac{c+a-b}{ca}=0\)
=> \(\frac{ca+cb-c^2-ab-ac+a^2-bc-ab+b^2}{abc}=0\)
=> a2 + b2 - 2ab - c2 = 0
=> (a - b)2 - c2 = 0
<=> (a - b + c)(a - b - c) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a-b+c=0\\a-b-c=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+c=b\\a=b+c\end{cases}}\)
Khi a + c = b => \(\frac{c+a-b}{ca}=\frac{b-b}{ca}=0\)
Khi a = b + c => \(\frac{b+c-a}{bc}=\frac{a-a}{bc}=0\)
=> đpcm
\(P=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\frac{1}{2}\left(b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(c-a\right)^2+\frac{1}{2}\left(c^2+a^2\right)}}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(c^2+a^2\right)}}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(b+c\right)^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(c+a\right)^2}}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
\(\Rightarrow P_{max}=3\) khi \(a=b=c=1\)
Quen thôi bạn
Ở hầu hết các bài toán có xuất hiện \(\sqrt{a.x^2-b.xy+c.y^2}\) thì đều có thể tách về \(\sqrt{m\left(x-y\right)^2+...}\)
Chỉ tìm được khi a;b;c dương, còn ko có điều kiện dương thì chịu thua :(
Ta có :\(\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{c};\frac{1}{b}=\frac{1}{a};\frac{1}{c}=\frac{1}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow ab=bc=ca=a^2=b^2=c^2\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=1\)
Vậy M=1