K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 12 2017

Đặt \(\hept{\begin{cases}x-y=a\\y-z=b\end{cases}}\) \(\Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{\left(z-x\right)^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\)

\(=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}\)

\(=\frac{a^4+2a^3b+a^2b^2+a^2b^2+2ab^3+b^4+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}=\frac{a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}\)

\(=\frac{\left(a^2+ab+b^2\right)^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}=\left[\frac{a^2+ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\right]^2\)là bình phưởng của 1 số hữu tỉ (đpcm)

19 tháng 9 2015

clink vào câu hỏi tương tự                

Đặt \(A=\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{\left(z-x\right)^2}\)

\(=\frac{\left(y-z\right)^2\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2\left(z-x\right)^2+\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)^2}{\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)^2\left(z-x\right)^2}\)

Xét B=(y-z)2(z-x)2+(x-y)2(z-x)2+(x-y)2(y-z)2

Đặt a=(y-z)(z-x), b=(x-y)(z-x), c=(x-y)(y-z)

Ta có:B=a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)

=(a+b+c)2-2((x-y)(y-z)(z-x)(z-x + x-y + y-z)

=(a+b+c)2-0=(a+b+c)2

=[(y-z)(z-x)+(x-y)(z-x)+(x-y)(y-z)]2

\(\Rightarrow A=\frac{\text{[x-y)(z-x)+(x-y)(z-x)+(x-y)(y-z)]^2}}{\text{[(x-y)(y-z)(z-x)]^2}}\)

=> A là bình phương 1 số hữu tỉ

15 tháng 12 2016

ếu

17 tháng 12 2016

cc

24 tháng 8 2018

A=\(\frac{x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2}{x^2y^2z^2}\)

Ta có:\(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2=\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(xyz\right)\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(xy+yz+zx\right)^2\)(do x+y+z=0)

Do đó A=\(\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{\left(xyz\right)^2}=\left[\frac{\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}\right]^2\)

Nên A là số chính phương(ĐCCM)

3 tháng 8 2019

a) \(4\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2\) là bình phương 1 số hữu tỉ => 4(xy+yz+zx) cũng là bp số hữu tỉ mà 4=22 => xy+yz+zx là bp 1 số hữu tỉ 

b) \(x^2+y^2+z^2=2\left(xy+yz+zx\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2+z^2=4xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2-2z\left(x+y\right)+z^2=4xy\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y-z\right)^2=4xy\)

Do (x+y-z)2 là bình phương 1 số hữu tỉ => 4xy là bp số hữu tỉ => xy là bp số hữu tỉ