\(Cho\)\(xyz\ne0\)\(thỏa\)\(x^3y^3+y^3z^3+x^3z^3=3x^2y^2z^2.Tính:\)
\(P=\left(1+\frac{x}{y}\right).\left(1+\frac{y}{z}\right).\left(1+\frac{z}{x}\right)\)
\(Giúp\)\(nha!!!\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VV
28 tháng 9 2016
Nếu\(a^3+b^3+c^3=3abc\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a=b=c\end{cases}}\)
Thật vậy:\(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\\ \Rightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Tương tự \(a=b=c\Rightarrow\orbr{\begin{cases}3abc=3a^3\\a^3+b^3+c^3=3a^3\end{cases}\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc}\)
Áp dụng ta có:\(\orbr{\begin{cases}xy+yz+zx=0\\xy=yz=zx\Rightarrow x=y=z\end{cases}}\)
Khi x=y=z,ta có P=(1+1)(1+1)(1+1)=8
Khi xy+yz+zx=0,ta có:\(xy+yz=-zx\)
Tương tự:\(yz+zx=-xy\)
\(xy+zx=-yz\)
Ta có \(P=2+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}=2+\frac{xz+yz}{z^2}+\frac{xy+xz}{x^2}+\frac{zy+xy}{y^2}\)\(=2-\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)\)\(=2-\frac{xy+yz+zx}{xyz}=2-\frac{0}{xyz}=2\)
Vậy P=8 khi x=y=z
P=2 khi xy+yz+zx=0
11 tháng 8 2016
Từ giả thiết \(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Khi đó \(\frac{x}{1+x^2}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}=\frac{\frac{1}{x}}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)}=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự cho 2 cái còn lại ta có: \(\frac{y}{1+y^2}=\frac{xyz}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}\)
\(\frac{z}{1+z^2}=\frac{xyz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\)
Suy ra \(VT=\frac{xyz\left(y+z\right)+2xyz\left(z+x\right)+3xyz\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Đpcm
25 tháng 9 2016
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
HF
13 tháng 10 2019
Câu 1:
\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)
\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=1/2
HF
13 tháng 10 2019
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)
CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
N
9 tháng 1 2020
We have:
\(A=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3xy+3zx+x+y+z}\le\frac{1}{3xy+3zx+3\sqrt[3]{xyz}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3xy+3zx+3}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{3\left(xy+zx+1\right)}\)
Dat \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1\)
\(\Rightarrow A\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ca}+1\right)}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{3\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{3}\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=1\)
KN
6 tháng 2 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: \(\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x=3xy+3xz+\left(x+y+z\right)\ge3xy+3xz+3\sqrt[3]{xyz}\)\(=3xy+3xz+3\Rightarrow\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}\le\frac{1}{3\left(xy+xz+1\right)}\)
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức dạng \(u^3+v^3\ge uv\left(u+v\right)\), ta được: \(\frac{1}{3\left(xy+xz+1\right)}=\frac{1}{3\left[x\left(\left(\sqrt[3]{y}\right)^3+\left(\sqrt[3]{z}\right)^3\right)+1\right]}\le\frac{1}{3\left[x\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+1\right]}\)\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{3\left[\sqrt[3]{x^2}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+\sqrt[3]{xyz}\right]}=\frac{\sqrt[3]{yz}}{3\left(\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}\right)}\)
Tương tự rồi cộng lại theo vế, ta được: \(P\le\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
KN
3 tháng 6 2020
Theo BĐT AM - GM cho 3 số dương, ta có: \(\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x=3xy+3zx+x+y+z\)
\(\ge3xy+3zx+3\sqrt[3]{xyz}=3zx+3xy+3=3\left(zx+xy+1\right)\)(Do xyz = 1)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}\le\frac{1}{3\left(zx+xy+1\right)}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{\left(3y+1\right)\left(z+x\right)+y}\le\frac{1}{3\left(xy+yz+1\right)}\)(2); \(\frac{1}{\left(3z+1\right)\left(x+y\right)+z}\le\frac{1}{3\left(yz+zx+1\right)}\)(3)
Cộng theo từng vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\right)\)
Ta có BĐT: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thật vậy, với a, b dương thì (*)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng BĐT trên và sử dụng giả thiết xyz = 1, ta được: \(\frac{1}{xy+yz+1}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\left(z+x\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\left[\left(\sqrt[3]{z}\right)^3+\left(\sqrt[3]{x}\right)^3\right]+\sqrt[3]{xyz}}\le\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\sqrt[3]{zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{y^3zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{y^2}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{zx}}=\frac{\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(*)
Tương tự: \(\frac{1}{yz+zx+1}\le\frac{\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(**); \(\frac{1}{zx+xy+1}\le\frac{\sqrt[3]{yz}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(***)
Cộng theo từng vế của 3 BĐT (*), (**), (***), ta được: \(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\le\frac{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}=1\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\right)\le\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
KY
19 tháng 9 2019
a) \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)
\(+\frac{1}{y^2}\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)
\(=2+\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar cho 2 số không âm, ta được:
\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)
C/m được BĐT phụ: \(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow16x^2y^2\le1\Leftrightarrow256x^2y^2\le16\Leftrightarrow\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{16}\)
\(\Rightarrow M\ge2+\frac{1}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2y^2=\frac{1}{256x^2y^2}\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))
19 tháng 9 2019
\(\frac{16}{3x+3y+2z}=\frac{16}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)1}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\)
Tương tự \(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+z}\)
\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{y+z}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(16\left(\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=24\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
P/S:Có dùng S-vác ngược dấu ạ.ý tưởng tách mẫu là từ tth_new - Trang của tth_new - Học toán với OnlineMath nha !
Tớ giải cho cậu bài này trên lớp rồi mà??????
~]
~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~