Cho dãy tỉ số \(\frac{ab+bc}{a+b}=\frac{bc+ca}{b+c}=\frac{ca+ab}{c+a}\) (ab,bc,ca có gạhj ngang trên đầu). Chứng minh rằng a=b=c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 3 2017
Ta có:
\(\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}\)
Mà: \(\left\{\begin{matrix}\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=\frac{10a+b+10b+c}{a+b}=9a+10b+c\\\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=\frac{10b+c+10c+a}{b+c}=9b+10c+a\\\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}=\frac{10c+a+10a+b}{c+a}=9c+10a+b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow9a+10b+c=9b+10c+a=9c+10a+b\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}9a=9b=9c\\10b=10c=10a\\c=a=b\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy \(a=b=c\) (Đpcm)
NP
6 tháng 1 2016
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\frac{ab+bc}{a+b}=\frac{bc+ca}{b+c}=\frac{ca+ab}{c+a}=\frac{ab+bc+bc+ca+ca+ab}{a+b+b+c+c+a}=\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\)
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta lại có
\(\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}=\frac{ab}{a}+\frac{bc}{b}+\frac{ca}{c}=\frac{ab}{a}=\frac{bc}{b}=\frac{ca}{a}\)
Từ \(\frac{ab}{a}=\frac{bc}{b}=\frac{ca}{c}\Rightarrow\frac{b}{1}=\frac{c}{1}=\frac{a}{1}\Rightarrow b=c=a\)
vậy a=b=c (đpcm)
KN
10 tháng 11 2020
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta được: \(\Sigma_{cyc}\frac{ab}{a^2+bc+ca}=\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Ta có: \(\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2.a\sqrt{ab}.c\sqrt{ab}+2.a\sqrt{bc}.b\sqrt{bc}+2.c\sqrt{ca}.b\sqrt{ca}}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+abc^2+a^2bc+b^3c+c^3a+ab^2c}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{a^2+bc+ca}\le\frac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Tương tự: \(\frac{bc}{b^2+ca+ab}\le\frac{bc\left(c^2+ca+ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\) ; \(\frac{ac}{c^2+ab+bc}\le\frac{ac\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(VT\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2.a\sqrt{ab}.c\sqrt{ab}+2a\sqrt{bc}.b\sqrt{bc}+2c\sqrt{ac}.b\sqrt{ac}}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(VT\le\frac{ab^3+bc^3+ca^3+a^3b+abc^2+b^3c+a^2bc+ac^3+ab^2c}{\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(VT\le\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
TT
Cho dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{\text{ab}}{b}=\frac{bc}{c}=\frac{ca}{a}\). Chứng minh rằng \(a=b=c\)
4
XO
31 tháng 8 2021
ĐKXĐ : a;b;c \(\ne0\)
Khi đó \(\frac{ab}{b}=\frac{bc}{c}=\frac{ca}{a}\)
<=> \(a.\frac{b}{b}=b.\frac{c}{c}=c.\frac{a}{a}\)
<=> \(a=b=c\)
26 tháng 10 2016
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{ab}{b}=\frac{bc}{c}=\frac{ca}{c}=\frac{ab+bc+ca}{b+c+a}=\frac{\left(10a+b\right)+\left(10b+c\right)+\left(10c+a\right)}{a+b+c}=\frac{11\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=11\)
\(\Rightarrow\begin{cases}ab=11b\\bc=11c\\ca=11a\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}10a+b=11b\\10b+c=11c\\10c+a=11a\end{cases}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}10a=10b\\10b=10c\\10c=10a\end{cases}\)\(\Rightarrow10a=10b=10c\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
21 tháng 10 2016
2) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:
\(\frac{ab}{b}=\frac{bc}{c}=\frac{ca}{a}=\frac{ab+bc+ca}{b+c+a}=\frac{\left(10a+b\right)+\left(10b+c\right)+\left(10c+a\right)}{a+b+c}=\frac{11.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=11\)
\(\Rightarrow\begin{cases}ab=11b\\bc=11c\\ca=11a\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}10a+b=11b\\10b+c=11c\\10c+a=11a\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}10a=10b\\10b=10c\\10c=10a\end{cases}\)\(\Rightarrow10a=10b=10c\)
=> a = b = c (đpcm)
21 tháng 10 2016
soyeon_Tiểubàng giải bạn giúp bn ấy ik trong đó có câu 2 mk cần ó
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
3 tháng 9 2021
ta có :
\(\frac{a+b-c}{ab}-\frac{b+c-a}{bc}-\frac{c+a-b}{ca}=0\Leftrightarrow ac+bc-c^2-\left(ab+ac-a^2\right)-\left(bc+ab-b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2-c^2=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2-c^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{a-b+c}{ca}=0\\\frac{b+c-a}{bc}=0\end{cases}}\)
Vậy ta có đpcm
XO
3 tháng 9 2021
\(\frac{a+b-c}{ab}-\frac{b+c-a}{bc}-\frac{c+a-b}{ca}=0\)
=> \(\frac{ca+cb-c^2-ab-ac+a^2-bc-ab+b^2}{abc}=0\)
=> a2 + b2 - 2ab - c2 = 0
=> (a - b)2 - c2 = 0
<=> (a - b + c)(a - b - c) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a-b+c=0\\a-b-c=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a+c=b\\a=b+c\end{cases}}\)
Khi a + c = b => \(\frac{c+a-b}{ca}=\frac{b-b}{ca}=0\)
Khi a = b + c => \(\frac{b+c-a}{bc}=\frac{a-a}{bc}=0\)
=> đpcm
T
20 tháng 7 2019
Em chỉ giải ra được 1 TH dấu bằng thôi: a = b = c (còn trường hợp a = b; c=0 và các hoán vị thì em chịu, vì khi xét dấu = trong bđt thì em chỉ xảy ra 1 th)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel;
\(VT\ge\frac{16}{a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{16}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\left(a+b+c\right)^2}\)\(=\frac{12}{\left(a+b+c\right)^2}\) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
30 tháng 4 2020
Áp dụng AM-GM:
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{c+a}\right)\)
\(=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1/3
