Question

[Vương Tuấn Khải]

tìm sô tự nhiên n để phân số \(\frac{2n+1}{n+2}\) rút gọn được

CMR :p và p²+2 là các số nguyên tố thì p³+2 là số nguyên tố

Answer 1

[Hoàng Khương Duy]

ta có:

\(\frac{2n+1}{n+2}=\frac{2\left(2n+1\right)}{\left(2n+1\right)+3}\) 

=> Để số đã cho rút gọn được thì 2(2n+1) phải chia hết cho 3

2(2n+1) = 4n+2 = (3+1)n+2 = 3n+n+2 = 3n+(n+2)

=> n+2 chia hết cho 3

=> n = 3k+1 (trong đó k thuộc Z) để phân số \(\frac{2n+1}{n+2}\)rút gọn được.

Ta thấy

- Các số nguyên tố lớn hơn 2 không bao giờ chia hết cho 2

- Nếu p là số nguyên tố thì p^3 chỉ chia hết cho p^2 và p

Vì p^2 +2 là số nguyên tố nên nó không bao giờ chia hết cho 2

=> p^2 không chia hết cho 2 nên p không chia hết cho 2

=> p^3 không chia hết cho 2

Vậy p^3 +2 là số nguyên tố