cho a+b+c=2p. chứng minh:
a, a2-b2-c2+2bc = 4(p-b)(p-c)
b, p2+(p-a)2+(p-b)2 + (p-c)2 = a2+b2+c2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
GN
0
11 tháng 6 2023
\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)
\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)
Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)
NC
17 tháng 8 2020
a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
NC
17 tháng 8 2020
b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
QT
2
27 tháng 3 2020
Câu hỏi của Hattory Heiji - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
a) Xét VP : \(4\left(p-b\right)\left(p-c\right)=4\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)\)
\(=\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)=\left[a+\left(c-b\right)\right].\left[a-\left(c-b\right)\right]\)
\(=a^2-\left(b-c\right)^2=a^2-b^2-c^2+2bc=VT\)
b) Xét VT : \(p^2+\left(p-a\right)^2+\left(p-b\right)^2+\left(p-c\right)^2\)
\(=\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)^2+\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)^2\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2+\left(b+c-a\right)^2+\left(a+c-b\right)^2+\left(a+b-c\right)^2}{4}\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ac+bc-ac-ab+ac-bc-ab+ab-bc-ac\right)}{4}\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{4}=a^2+b^2+c^2=VP\)