Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2( a3 + b3 + c3 ) – ( a2b + b2c + c2a ).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
8 tháng 2 2019
Đáp án C
Nhận xét, với x ∈ 1 ; 2 thì f x = x − log 2 x ≤ 0 . Thật vậy, xét f ' x = x ln 2 − 1 x ln 2
→ f ' x = 0 ⇔ x = 1 ln 2 ⇒ max 1 ; 2 f x = max f 1 , f 1 ln 2 , f 2 = 0
Từ đây suy ra x − 1 ≤ log 2 x ⇒ log 2 3 x ≥ x − 1 3 với 1 ; 2 ⇒ 1 ≥ a − 1 3 + b − 1 3 + c − 1 3
Mặt khác cũng có x 3 − 3 x log 2 x ≤ x 3 − 3 x 1 − x = x 3 − 3 x 2 + 3 x với 1 ; 2
⇒ P − 3 ≤ x − 1 3 + y − 1 3 + z − 1 3 = 1 ⇒ P ≤ 4
CM
11 tháng 1 2018
Đáp án C
Nhận xét, với x ∈ [1;2] thì f(x) = x - log2x ≤ 0. Thật vậy, xét f ' ( x ) = x ln 2 - 1 x ln 2
Từ đây suy ra
Mặt khác cũng có
với [1;2]
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 2 2022
Lời giải:
Tìm min:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^3+a^3+1\geq 3a^2$
$b^3+b^3+1\geq 3b^2$
$c^3+c^3+1\geq 3c^2$
$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow 2P+3\geq 9$
$\Leftrightarrow P\geq 3$
Vậy $P_{\min}=3$ khi $(a,b,c)=(1,1,1)$
----------------
Tìm max:
$a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2,b^2,c^2\leq 3$
$\Rightarrow a,b,c\leq \sqrt{3}$
Do đó: $a^3-\sqrt{3}a^2=a^2(a-\sqrt{3})\leq 0$
$\Rightarrow a^3\leq \sqrt{3}a^2$
Tương tự với $b,c$ và cộng theo vế:
$P\leq \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)=3\sqrt{3}$
Vậy $P_{\max}=3\sqrt{3}$ khi $(a,b,c)=(\sqrt{3},0,0)$ và hoán vị.
CM
31 tháng 5 2019
Đáp án C.
Đặt log 2 a = x log 2 b = y log 2 c = z ⇒ a = 2 x b = 2 y c = 2 z ⇒ P = 2 x 3 + 2 y 3 + 2 z 3 − 3 x .2 x + y .2 y + z .2 z ,
trong đó x 3 + y 3 + z 3 ≤ 1 và x , y , z ∈ 0 ; 1 .
Dễ chứng minh được 2 x ≤ x + 1 , ∀ x ∈ 0 ; 1 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0 ∨ x = 1 .
Suy ra
2 x − x 3 ≤ 1 ⇔ 2 x 3 ≤ 3. 2 x 2 . x − 3.2 x . x 2 + x 3 + 1 ⇒ 2 x 3 − 3 x .2 x ≤ 3 x .2 x 2 x − x − 1 + x 3 + 1 ≤ x 3 + 1 Từ đó suy ra P ≤ x 3 + 1 + y 3 + 1 + z 3 + 1 ≤ 4 .
Dấu bằng xảy ra khi trong ba số x , y , z có 1 số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0. Do đó chọn C.
LS
Lê Song Phương
CTVHS
15 tháng 7 2023
\(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=1\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)
\(\Leftrightarrow1+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=1\)'
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a+b=0\), các trường hợp còn lại làm tương tự.
Khi đó từ \(a+b+c=1\) suy ra \(c=1\) (thỏa mãn). Thế thì \(T=0^{2023}+0^{2023}+1^{2023}=1\).
Như vậy \(T=1\)
31 tháng 10 2021
\(5,M=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\\ M=\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2-3ab\right]\\ M=1\left(1-3ab\right)=1-3ab\ge1-\dfrac{3\left(a+b\right)^2}{4}=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\\ M_{min}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
4 tháng 11 2021
Câu 5:
\(a+b=1\Rightarrow a=1-b\)
\(M=a^3+b^3=\left(1-b\right)^3+b^3=1-3b+3b^2-b^3+b^3\)
\(=1-3b+3b^2=3\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}=3\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\)
\(minM=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
4 tháng 11 2021
Câu 7:
\(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc-ab\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng do a,b dương)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Do \(0\le a,b,c\le1\)
nên\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2-1\right)\left(b-1\right)\ge0\\\left(b^2-1\right)\left(c-1\right)\ge0\\\left(c^2-1\right)\left(a-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b-b-a^2+1\ge0\\b^2c-c-b^2+1\ge0\\c^2a-a-c^2+1\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2b\ge a^2+b-1\\b^2c\ge b^2+c-1\\c^2a\ge c^2+a-1\end{matrix}\right.\)
Ta cũng có:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\le a^2+b+b^2+c+c^2+a\)
Do đó \(T=2\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\le a^2+b+b^2+c+c^2+a\)\(-\left(a^2+b-1+b^2+c-1+c^2+a-1\right)\)
\(=3\)
Vậy GTLN của T=3, đạt được chẳng hạn khi \(a=1;b=0;c=1\)
giúp mình câu hỏi này với ah.