Bài 1: Cho a, b, c > 0. CMR: \(\frac{ab}{c} \frac{bc}{a} \frac{ca}{b}\ge a b c\)Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB

#Toán lớp 8

1

VD

Vô Danh

4 tháng 5 2016

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)

CMTT rồi cộng lại, ta có đpcm.

Bài 1 : cho tam giác ABC có góc A và B nhọn , các đg trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau tại G . CMR :\(cotB+cotC\ge\frac{2}{3}\)Bài 2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có BC=a,CA=b,AB=c....

PT

phan thị minh anh

31 tháng 7 2016

1

H

haphuong01

31 tháng 7 2016

Hỏi đáp Toán

PT

phan thị minh anh

31 tháng 7 2016

pn ơi lm hộ t nốt bài 2 câu b,c đc k

CS

Cuồng Song Joong Ki

31 tháng 7 2016

Bài 1 : cho tam giác ABC có góc A và B nhọn , các đg trung tuyến BM và CN vuông góc vs nhau tại G . CMR :\(cotB+cotC\ge\frac{2}{3}\)

Bài 2 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn có BC=a, CA=b, AB=c. CMR :

a.\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)

b.\(sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\)

c.\(sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\le\frac{1}{8}\)

2

TN

Trần Nhật Huy

31 tháng 7 2016

Từ A vẽ AD _|_ BC ,AG là trung tuyến cắt BC tại E\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}AD\le AE\Rightarrow\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{AE}\\1.2GE=BC\left(do\Delta BGCvuongcoElatrungdiem\right)\end{cases}}\)

cotB=\(\frac{BD}{AD}\)cotC=\(\frac{CD}{AD}\)\(\Rightarrow\)2.cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\)

3.G là trực tâm nên 3GE=AE\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AD}\ge\frac{1}{3GE}\)

từ 1, 2 và 3 \(\Rightarrow\)cotB + cotC=\(\frac{BC}{AD}\ge\frac{2GE}{3GE}=\frac{2}{3}\)

T

Tuấn

31 tháng 7 2016

\(\cot B+\cot C=\frac{BD}{AD}+\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AD}=\frac{BC}{3GH}\ge\frac{2GH}{3GH}=\frac{2}{3}\)
VỚI D LÀ CHÂN ĐƯỜNG CAO HẠ TỪ A XUÔNG BC , G LÀ TRỌNG TÂM , H LÀ CHÂN ĐƯỜNG CAO HẠ TỪ G XUỐNG BC
B2 THÌ GIẢI BÌNH THƯỜNG =='. ĐỌC THÊM NCPT 9 NHÉ

LT

Lê Tài Bảo Châu

8 tháng 1 2020

Bài 1 :Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=2

CMR \(\frac{bc}{\sqrt{3a^2+4}}+\frac{ca}{\sqrt{3b^2+4}}+\frac{ab}{\sqrt{3c^2+4}}\ge\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Bài 2:Cho a,b,c>0. CMR

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

1

ZC

zZz Cool Kid_new zZz

8 tháng 1 2020

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc\)

\(=abc+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc+abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)( phân tích nhân tử các kiểu )

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\left(1\right)\)

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)

\(\Rightarrow-abc\ge\frac{-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)

Khi đó:\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

\(\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-\frac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)

\(=\frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{9}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) có đpcm

NP

Nguyễn Phan Thục Trinh

10 tháng 7 2019

Bài 1: Cho a,b>0.CMR: \(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1\)

Bài 2: Với \(\forall\)a \(\in\)R. CMR: \(a+\frac{1}{a-1}\ge3\)

Bài 3: Với mọi a,b,c>0. CMR: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)

1

G

Girl

11 tháng 7 2019

1)Áp dụng bđt AM-GM:

\(2\left(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\left(ab+\frac{a}{b}\right)+\left(ab+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1."="\Leftrightarrow a=b=1\)

2) Áp dụng bđt AM-GM ta có: \(a+\frac{1}{a-1}=a-1+1+\frac{1}{a-1}\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=3\)

\("="\Leftrightarrow a=2\)

3) Áp dụng bđt AM-GM:

\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)=\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\right)+\left(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)+\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

Cộng theo vế và rg => ddpcm. Dấu bằng khi a=b=c

T

tth_new

24 tháng 8 2019

Copy bài bên k2pi (chưa có đáp án) qua cho mọi người test:v

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = abc

Chứng minh \(\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\ge\frac{a+b+c}{4}\)

1

TP

Trần Phúc Khang

25 tháng 8 2019

Ta có \(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ac}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

TT
=> \(VT=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

Áp dụng cosi \(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)

Tương tự với các phân thức còn lại

=> \(VT+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)

=> \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=3

Bài 1: Cho các số a, b, c > 0 sao cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\). Tìm GTNN của Q = \(\sqrt{\frac{ab}{\left(a+bc\right)\left(b+ca\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(b+ca\right)\left(c+ab\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{\left(c+ab\right)\left(a+bc\right)}}\)Bài 2: Cho các số a, b, c > 0 sao cho \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=3\) .a) CMR: \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\ge\frac{16}{\left(a+b\right)^3}\)b) Tìm GTLN của: P...

LT

Lê Trường Lân

24 tháng 5 2020

4

T

tth_new

27 tháng 5 2020

Bài 2:b) \(9=\left(\frac{1}{a^3}+1+1\right)+\left(\frac{1}{b^3}+1+1\right)+\left(\frac{1}{c^3}+1+1\right)\)

\(\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)

Ta sẽ chứng minh \(P\le\frac{1}{48}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

Ai có cách hay?

T

tth_new

27 tháng 5 2020

1/Đặt a=1/x,b=1/y,c=1/z ->x+y+z=1.

2a) \(VT=\frac{\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\ge\frac{\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)^2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)

\(=\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^4b^4}\right]}{\frac{a+b}{ab}}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^3b^3\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4\left(ab\right)^3}\)

\(\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\right]^3}=\frac{16}{\left(a+b\right)^3}\)

ND

Nguyen Duy Dai

22 tháng 9 2020

Cho tam giác ABC có BC=a CA=b AB=c. CMR nếu \(\sin\frac{B}{2}=\sqrt{\frac{a-c}{2a}}\)với a>c thì tam giác ABC vuông

Bài 1. cho tam giác ABC nhọn biết: AB=c, BC=a, AC=bCMR: a) \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{sinC}\)b) \(a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A\)c) \(c=b.\cos A+a.\cos B\)Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M, N lần lượt thuộc AB, AC sao cho AB=3AM; AC=3AN. Biết \(BN=\sin\alpha,CM=\cos\alpha\left(0^0< \alpha< 90^0\right)\)CMR: \(\frac{3\sqrt{10}}{10}\)Ai giúp mk...

0

CG

Cô gái thất thường (Ánh Dương)

14 tháng 7 2019

1

PM

Phùng Minh Quân

15 tháng 7 2019

1) a) Từ C dựng đường cao CF

Ta có: \(\sin A=\frac{CF}{b};\sin B=\frac{CF}{a}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\frac{CF}{b}}{\frac{CF}{a}}=\frac{a}{b}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\) (1)

Từ A dựng đường cao AH

Có: \(\sin B=\frac{AH}{c};\sin C=\frac{AH}{b}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{\frac{AH}{c}}{\frac{AH}{b}}=\frac{b}{c}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\) (2)

(1), (2) => đpcm

b) từ a) ta có: \(\hept{\begin{cases}\sin A=\frac{CF}{b}\\\cos A=\frac{AF}{b}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}CF=b.\sin A\\AF=b.\cos A\end{cases}}}\)

Có: \(BF=c-AF=c-b.\cos A\)

Py-ta-go:

\(a^2=BF^2+CF^2=\left(c-b.\cos A\right)^2+\left(b.\sin A\right)^2=c^2+b^2.\cos^2A+b^2.\sin^2A-2bc.\cos A\)

\(=b^2\left(\sin^2A+\cos^2A\right)+c^2-2bc.\cos A=b^2+c^2-2bc.\cos A\) (đpcm)

c) Có: \(\hept{\begin{cases}\cos A=\frac{AF}{b}\\\cos B=\frac{BF}{a}\end{cases}\Rightarrow b.\cos A+a.\cos B=b.\frac{AF}{b}+a.\frac{BF}{a}=AF+BF=c}\)

bài 2 mk có làm r bn ib mk gửi link nhé

LT

luu thanh huyen

21 tháng 11 2018

Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1. CMR: \(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\)