Các cậu giúp tớ vs. Câu hỏi như sau: Cmr tổng 2 số dương nhân với tổng hai số nghịch đảo của chúng thì lớn hơn hoặc bằng 4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
11 tháng 12 2017
Xét phân số dương \(\dfrac{a}{b}\). Không mất tính tổng quát, giả sử \(a>0,b>0,a\ge b\).
Khi đó \(a=b+m\left(m\ge0\right)\). Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+m}{b}+\dfrac{b}{b+m}=1+\dfrac{m}{b}+\dfrac{b}{b+m}\ge1+\dfrac{b}{b+m}+\dfrac{m}{b+m}=1+\dfrac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\). Dấu "=" xảy ra khi a = b (m = 0)
11 tháng 12 2017
Gọi một phân số dương bất kì là \(\dfrac{a}{b}\)(a; b > 0) thì phân số nghịch đảo của nó là \(\dfrac{b}{a}\). Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2}{ab}+\dfrac{b^2}{ab}=\dfrac{a^2+b^2}{ab}\)
+ Nếu a > b thì a2 + b2 > 2b2 > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)
+ Nếu a < b thì a2 + b2 > 2a2 > 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}>2\)
+ Nếu a = b thì a2 + b2 = 2a2 = 2ab. \(\Rightarrow\) \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}=2\)
Vậy tổng 1 phân số dương với số nghịch đảo của nó \(\ge\) 2
+ Nếu a = b thì a2
22 tháng 3 2019
\(a.\)Ta có:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)
\(AM-GM:\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\left(đpcm\right)\)
\(b.\)Nếu x,y dương thì Áp dụng BĐT Cô-si ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge2\sqrt{\frac{3x}{y}.\frac{3y}{x}}=6\)hay\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}\ge6\left(đpcm\right)\)
Nếu x,y âm ta có:\(\frac{3x}{y}+\frac{3y}{x}=\frac{3x^2}{xy}+\frac{3y^2}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3x^2}{xy}.\frac{3y^2}{xy}}=6\left(đpcm\right)\)
NT
1
LN
25 tháng 3 2018
Dễ thôi
Ta có: \(a^2+b^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\sqrt{\left(ab\right)^2}=ab\)
Suy ra: \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
Suy ra: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Vậy đpcm
-Chứng minh rằng.
-Đây là lớp 8, không thể là lớp 5.