Question

[Vũ Khánh Huyền]

cho tứ giác ABCD có các góc đối bù nhau. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và Bd, E là giao điểm hai cạnh AD và BC.

a, cmr: AE.CD= EC.AB và tam giác EAC đồng dạng tam giác EBC

b,cmr: góc ABD= góc dca

giup minh voi

Answer 1

[Trần Tuấn Hoàng]

*TH1: AD và BC cắt nhau về phía AB.

a. -Ta có: Các góc đối bù nhau (gt).

=>\(\left[{}\begin{matrix}\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180^0\\\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^0\end{matrix}\right.\).

- Ta có: \(\widehat{BAD}+\widehat{BAE}=180^0\) (kề bù).

Mà \(\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180^0\) (gt).

=>\(\widehat{BAE}=\widehat{BCD}\).

- Xét △EAB và △ECD có:

\(\widehat{E}\) là góc chung.

\(\widehat{BAE}=\widehat{ECD}\) (cmt)

=>△EAB ∼ △ECD (g-g).

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{CE}{CD}\) (2 tỉ lệ tương ứng).

=>\(AE.CD=EC.AB\).

- Xét △EAC và △EBC có:

\(\widehat{E}\) là góc chung.

\(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{EB}{DE}\) (△EAB ∼ △ECD)

=>△EAC ∼ △EBD (c-g-c).

b.- Xét △ADO và △BCO có:

\(\widehat{ADO}=\widehat{BCO}\) (△EAC ∼ △EBD).

\(\widehat{AOD}=\widehat{BOC}\) (đối đỉnh).

=>△ADO ∼ △BCO (g-g).

=> \(\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{DO}{CO}\) (2 tỉ lệ tương ứng).

- Xét △ABO và △DCO có:

\(\widehat{AOB}=\widehat{DOC}\) (đối đỉnh).

\(\dfrac{AO}{BO}=\dfrac{DO}{CO}\) (cmt).

=>△ABO ∼ △DCO (c-g-c).

=>\(\widehat{ABO}=\widehat{DCO}\) (2 góc tương ứng) hay \(\widehat{ABD}=\widehat{DCA}\).

*TH2: AD và BC cắt nhau về phía DC. Tương tự như TH1, chỉ thay đổi vài chỗ.

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180^0\)

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

Xét ΔEAC và ΔEBD có

\(\widehat{ECA}=\widehat{EDB}\left(=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AB}}{2}\right)\)

Do đó: ΔEAC\(\sim\)ΔEBD

Suy ra: \(\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{EC}{ED}\)

hay \(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{BE}{ED}\left(1\right)\)

Xét ΔEAB và ΔECD có 

\(\widehat{E}\) chung

\(\widehat{EAB}=\widehat{ECD}\)

Do đó: ΔEAB\(\sim\)ΔECD

Suy ra: \(\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{AB}{CD}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{AB}{CD}\)

hay \(AE\cdot CD=AB\cdot EC\)

b: Ta có: ABCD là tứ giác nội tiếp

nên \(\widehat{ABD}=\widehat{DCA}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)