Chứng minh rằng nếu a,b,c và √a+√b+√c là các số hữu tỉ thì √a,√b,√c cũng là các số hữa tỉ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 1 2019
Giả sử có ít nhất một số là số vô tỉ, giả sử đó là \(\sqrt{a}\)
Ta có: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)là số hữu tỉ
=> Đặt \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\frac{p}{q}\)với p, q thuộc Z và (p, q)=1
=> \(\sqrt{b}+\sqrt{c}=\frac{p}{q}-\sqrt{a}\)
=> \(b+2\sqrt{bc}+c=\frac{p^2}{q^2}-2\frac{p}{q}\sqrt{a}+a\Leftrightarrow2\sqrt{bc}+\frac{2p}{q}\sqrt{a}=\frac{p^2}{q^2}+a-b-c\)
=> \(2\sqrt{bc}+\frac{2p}{q}\sqrt{a}\)là số hữu tỉ
=> \(\sqrt{bc}+\frac{p}{q}\sqrt{a}\)là số hữu tỉ
=> Đặt \(\sqrt{bc}+\frac{p}{q}\sqrt{a}\)=\(\frac{m}{n}\)với m,n thuộc Z, (m, n)=1
=> \(\sqrt{bc}=\frac{m}{n}-\frac{p}{q}\sqrt{a}\Rightarrow bc=\frac{m^2}{n^2}-\frac{2mp}{nq}\sqrt{a}+\frac{p^2}{q^2}.a\)
=> \(\frac{2mp}{nq}\sqrt{a}=\frac{m^2}{n^2}+\frac{p^2.a}{q^2}-bc\)
=>\(\frac{2mp}{nq}\sqrt{a}\)là số hữu tỉ
=> \(\sqrt{a}\)là số hữu tỉ vô lí với điều giả sử
=> Không có số nào là số vô tỉ hay cả ba số là số hữu tỉ
T
24 tháng 3 2019
Không biết cách này có đúng không ạ?Em làm thử
Lời giải
Từ đề bài suy ra a,b,c>0.
Ta chứng minh: Nếu a;b;c và \(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\) là số hữu tỉ.Suy ra \(a=\frac{m^2}{n^2};b=\frac{p^2}{q^2};c=\frac{t^2}{f^2}\) (là bình phương của 1 số hữu tỉ).Thật vậy,giả sử: \(a=\frac{m}{n};b=\frac{p}{q};c=\frac{t}{f}\) (không là bình phương của một số hữu tỉ)
Thế thì: \(\sqrt{a}=\sqrt{\frac{m}{n}};\sqrt{b}=\sqrt{\frac{p}{q}};\sqrt{c}=\sqrt{\frac{t}{f}}\).Suy ra
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{\frac{m}{n}}+\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{t}{f}}\) là số vô tỉ,trái với giả thiết.
Do đó \(a=\frac{m^2}{n^2};b=\frac{p^2}{q^2};c=\frac{t^2}{f^2}\) suy ra \(\sqrt{a}=\frac{m}{n};\sqrt{b}=\frac{p}{q};\sqrt{c}=\frac{t}{f}\) là các số hữu tỉ (đpcm)
O
5 tháng 7 2023
a + b, b + c, c + a đều là các số hữu tỉ
=> 2(a + b + c) là số hữu tỉ
=> a + b + c là số hữu tỉ (do khi 1 số hữu tỉ chia cho 2 sẽ nhận đc 1 số hữu tỉ)
=> a + b + c - (a + b) = c là số hữu tỉ; a + b + c - (b + c) = a là số hữu tỉ; a + b + c - (c + a) = b là số hữu tỉ
=> a, b, c đều là số hữu tỉ (đpcm)
ND
1
24 tháng 1 2019
Câu hỏi của ka ding - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath Em xem lbaif ở link này nhé!
vi a,b,c deu viet dc duoi dang phan so: a/m ;b/m c/m
\(\sqrt{a}\sqrt{b}\sqrt{c}\)cung dc viet duoi dang phan so:\(\sqrt{\frac{a}{m}}\sqrt{\frac{b}{m}}\sqrt{\frac{c}{m}}\)
a,b,c đều viết được dưới dạng phân số:
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x}\)=>...