tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ pt có nghiệm
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x}+\sqrt{3-y}=m\\\sqrt{2y}+\sqrt{3-x}=m\end{matrix}\right.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 6 2020
ĐKXĐ: \(0\le x;y\le3\)
Trừ vế cho vế: \(\sqrt{2x}-\sqrt{2y}+\sqrt{3-y}-\sqrt{3-x}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x-y\right)}{\sqrt{2x}+\sqrt{2y}}+\frac{x-y}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{2}{\sqrt{2x}+\sqrt{2y}}+\frac{1}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Thay vào pt đầu: \(\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}=m\)
\(\left(\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}\right)^2\le\left(2+1\right)\left(x+3-x\right)=9\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}\le3\)
\(\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{2x+3-x}=\sqrt{3+x}\ge\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}\le m\le3\) mà m nguyên \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\sum m=5\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 8 2021
Lời giải: ĐK: $x,y\geq 2$
HPT \(\Rightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}+(\sqrt{y-2}-\sqrt{x-2})=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y).\left[\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}}-\frac{1}{\sqrt{y-2}+\sqrt{x-2}}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x-y=0\) (do dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Khi đó: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-2}=\sqrt{m}$
$\Leftrightarrow 2x-1+2\sqrt{(x+1)(x-2)}=m$
Để hpt có nghiệm thì pt trên có nghiệm
$\Leftrightarrow m\geq \min (2x-1+2\sqrt{(x+1)(x-2)})$
$\Leftrightarrow m\geq 2.2-1+2.0=3$
Vậy $m\geq 3$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 12 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{7x+y}=a\ge0\\\sqrt{x+y}=b\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x-y=\dfrac{a^2-4b^2}{3}\)
Hệ trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=6\\b+\dfrac{a^2-4b^2}{3}=m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow6-a+\dfrac{a^2-4\left(6-a\right)^2}{3}=m\)
\(\Leftrightarrow-a^2+15a-42=m\)
Với \(0\le a\le6\Rightarrow-42\le-a^2+15a-42\le12\)
\(\Rightarrow-42\le m\le12\)
24 tháng 5 2021
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=5m-1\\-2x+y=2\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}2x+4y=10m-2\\-2x+y=2\end{matrix}\right.\)
\(< =>\left\{{}\begin{matrix}5y=10m\\-2x+y=2\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}y=2m\\x=m-1\end{matrix}\right.\)
=>\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\left(1\right)\)
=>\(\sqrt{m-1}+\sqrt{2m}=\sqrt{2}\) (\(m\ge1\))
\(< =>\left(\sqrt{m-1}\right)^2=|\left(\sqrt{2}-\sqrt{2m}\right)^2|\)
<=>\(m-1=\left[\sqrt{2}.\left(1-\sqrt{m}\right)\right]^2< =>m-1=|2.\left(1-\sqrt{m}\right)^2|\)
<=>\(m-1=|2\left(1-2\sqrt{m}+m\right)|=\left|2-4\sqrt{m}+2m\right|\)
với \(\left|2-4\sqrt{m}+2m\right|=2-4\sqrt{m}+2m< =>m\le1\)
ta có pt:
<=>\(m-1-2+4\sqrt{m}-2m=0\)
\(< =>-m+4\sqrt{m}-3=0< =>-\left(m-4\sqrt{m}+3\right)=0\)
<=>\(m-4\sqrt{m}+3=0< =>\left(\sqrt{m}-3\right)\left(\sqrt{m}-1\right)=0\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{m}-3=0\\\sqrt{m}-1=0\end{matrix}\right.< =>\left[{}\begin{matrix}m=9\left(loai\right)\\m=1\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)
nếu \(|2-4\sqrt{m}+2m|=-2+4\sqrt{m}-2m< =>m\ge1\)
=>\(-2+4\sqrt{m}-2m=m-1< =>3m-4\sqrt{m}+1=0\)
<=>\(3\left(m-2.\dfrac{2}{3}\sqrt{m}+\dfrac{1}{3}\right)=3\left(m-2.\dfrac{2}{3}\sqrt{m}+\dfrac{4}{9}-\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{3}\right)=0\)
<=>\(\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}-\dfrac{1}{3}\right)=0\)=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{m}-1=0\\\sqrt{m}-\dfrac{1}{3}=0\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}m=1\left(TM\right)\\m=\dfrac{1}{3}\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)
vậy m=1 thì pt đã cho có 2 nghiệm (x,y) thỏa mãn
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\)
16 tháng 5 2021
\(x^2-5x+1=m-2\sqrt{6+5x-x^2}\) (đk: \(x\in\left[-1;6\right]\))
\(\Leftrightarrow7-\left(6+5x-x^2\right)=m-2\sqrt{6+5x-x^2}\)
\(Đặt \) \(a=\sqrt{6+5x-x^2}\left(a\ge0\right)\)
(bình phương cái vừa đặt lên, tìm được \(\Delta_x=49-4a^2\) nên với mỗi \(a\in\left[0;\dfrac{7}{2}\right]\backslash\left\{\dfrac{7}{2}\right\}\) sẽ có 2 nghiệm x phân biệt)
pttt: \(7-a^2=m-2a\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a-7=-m\) (*)
BBT \(f\left(x\right)=a^2-2a-7\) với \(a\in\left[0;\dfrac{7}{2}\right]\backslash\left\{\dfrac{7}{2}\right\}\)
nên để pt ban đầu có 2 nghiệm x phân biệt <=>pt (*) có 1 nghiệm <=> \(\left[{}\begin{matrix}-m=-8\\-7< -m< \dfrac{7}{4}\end{matrix}\right.\) hay \(\left[{}\begin{matrix}m=8\\\dfrac{7}{4}< m< 7\end{matrix}\right.\)
Ý A
16 tháng 5 2021
\(f\left(a\right)=a^2-2a-7\) chứ không phải f(x) đâu nha
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x}+\sqrt{3-y}=m\left(1\right)\\\sqrt{2y}+\sqrt{3-x}=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(0\le x,y\le3\right)\)
\(\left(1\right)-\left(2\right)\Leftrightarrow\sqrt{2x}-\sqrt{2y}+\sqrt{3-y}-\sqrt{3-x}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-2y}{\sqrt{2x}+\sqrt{2y}}+\dfrac{3-y-3+x}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\dfrac{2}{\sqrt{2x}+\sqrt{2y}}+\dfrac{1}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\left(3\right)\\\dfrac{2}{\sqrt{2x}+\sqrt{2y}}+\dfrac{1}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}=0\left(vô-nghiệm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)và\left(3\right)\Rightarrow\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}=m\)
\(m^2=x+3+2\sqrt{2x\left(3-x\right)}\ge3\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\sqrt{3}\\m\le-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)\(\left(4\right)\)
\(m\le\sqrt{3\left(x+3-x\right)}=3\left(5\right)\)
\(\left(4\right)\left(5\right)\Rightarrow\sqrt{3}\le m\le3\Rightarrow m=\left\{2;3\right\}\)
Trừ vế cho vế:
\(\sqrt{2x}-\sqrt{2y}+\sqrt{3-y}-\sqrt{3-x}=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}\left(x-y\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{x-y}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{3-y}+\sqrt{3-x}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Thế vào pt đầu:
\(\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}=m\)
Ta có: \(\sqrt{2.x}+\sqrt{1.\left(3-x\right)}\le\sqrt{\left(2+1\right)\left(x+3-x\right)}=3\)
\(\sqrt{2x}+\sqrt{3-x}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{x}\ge\sqrt{x+3-x}+\left(\sqrt{2}-1\right)\sqrt{x}\ge\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}\le m\le3\Rightarrow m=\left\{2;3\right\}\)