Cho các số dương a,b,c thỏa mãn:\(ab^2+bc^2+ca^2=3\)
CMR \(\frac{2a^5+3b^5}{ab}\)+\(\frac{2b^5+3c^5}{bc}\)+\(\frac{2c^5+3a^5}{ca}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
11 tháng 7 2016
Ta có:
\(\frac{2a^5+3b^5}{ab}\ge5a^3+10b^3-10ab^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^4\left(2a+3b\right)\ge0\).Tương tự với 2 cái còn lại được:
\(\frac{2a^5+3b^5}{ab}+\frac{2b^5+3c^5}{cb}+\frac{2c^5+3a^5}{ab}\ge15\left(a^3+b^3+c^3\right)-10\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
=>Đpcm (vì ab2+bc2+ca2=3)
Dấu = khi a=b=c=1
T
24 tháng 1 2019
Ối,không ngờ đề gắt ~v
Theo Cô si,ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\)
Suy ra \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Áp dụng vào,ta có: \(\frac{1}{a+2b+3c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Chứng minh tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{9}\left[\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{9}\left[3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\right]=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Lại có BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Áp dụng vào,ta có: \(VT\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\le\frac{1}{12}\left[2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Nhân abc vào mỗi vế : \(VT.abc\le\frac{1}{6}\left(ab+bc+ca\right)=\frac{abc}{6}\)
Chia cả hai vế cho abc (vì a,b,c dương nên abc khác 0): \(VT\le\frac{1}{6}< \frac{3}{16}\)(đpcm)
Cũng không biết đúng hay sai nữa :v
I
2 tháng 7 2020
Bìa này muốn làm cân 2 bước nha
Bước 1 ) CM BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
nó được CM như sau
áp dụng BĐT cô si ta đc
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3.\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=9.\sqrt[3]{xyz.\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=9\)
dấu = xảy ra khi x=y=z
I
2 tháng 7 2020
Bước 2 ) Theo CM bước 1 . áp dụng ta đc
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}=\frac{ab}{9}.\frac{9}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
CM tương tự ta đc
\(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2c}\right)\)
\(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}\right)\)
cộng zế zới zế ta đc
\(A\le\frac{1}{9}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)\)
\(A\le\frac{1}{9}\left(b+a+c+\frac{a+b+c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{6}=\frac{6}{6}=1\)
=> MAx A=1 khi a=b=c=2
KN
6 tháng 8 2020
\(P=\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a^2+5\right)}+\sqrt{6\left(b^2+5\right)}+\sqrt{c^2+5}}\)
\(=\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a^2+ab+bc+ca\right)}+\sqrt{6\left(b^2+ab+bc+ca\right)}+\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)(Do ab + bc + ca = 5)
\(=\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Áp dụng BĐT AM - GM, ta được:
\(\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=2\sqrt{\frac{6}{4}\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)\(\le\frac{6}{4}\left(a+b\right)+\left(a+c\right)=\frac{5}{2}a+\frac{6}{4}b+c\)
\(\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}=2\sqrt{\frac{6}{4}\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\)\(\le\frac{6}{4}\left(a+b\right)+\left(b+c\right)=\frac{6}{4}a+\frac{5}{2}b+c\)
\(\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le\frac{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}=c+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)\(\le\frac{9}{2}a+\frac{9}{2}b+3c\)
\(\Rightarrow\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)\(\ge\frac{3a+3b+2c}{\frac{9}{2}a+\frac{9}{2}b+3c}=\frac{2}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1;c=2\)
