cho x+y=a+b và x^2+y^2=a^2+b^2.Chứng minh: x^n+y^n=a^n+b^n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MN
23 tháng 1 2020
Ta có :
\(x^2+y^2=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)
Mà \(x+y=a+b\)
\(\Leftrightarrow x-a=b-y\)
+ Nếu \(x-a=b-y=0\Leftrightarrow x=a;b=y\) (1)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)
\(\Leftrightarrow0=0\left(TM\right)\)
+ Nếu \(x-a=b-y\ne0\Leftrightarrow x+a=b+y\)
\(\Leftrightarrow x-y=b-a\)
Lại có : \(x+y=a+b\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=2b\\-2y=-2a\end{cases}}\)Cái trên là cộng vế với vế 2 ptr, cái dưới là trừ vế cho vế của 2 ptr nhé )
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=b\\y=a\end{cases}}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Leftrightarrow x=a;y=b\)hoặc \(x=b;y=a\)
\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\)(đpcm)
31 tháng 1 2017
1. ta có: (a-b) + (b-a) = a-b+b-a = 0
Vậy (a-b) và (b-a) là hai số đối nhau
2.
a, (x-y) + (m-n) = x-y +m - n = x + m - y - n = (x+m) - (y+n)
b, (x-y) - (m-n) = x-y -m +n = x+n -y -m = (x+n) -(y+m)
31 tháng 1 2017
- Gọi A = a - b và B = b - a, ta có :
A + B = a - b + b - a
A + B= a + (-b) + b + (-a)
A + B= a + (-a) + b + (-b)
A + B = 0
Vì A + B = 0 mà hai số đối có tổng = 0 nên a - b và b - a là hai số đối nhau.
- a) (x - y) + (m - n)
= x - y + m - n
= x + (-y) + m + (-n)
= (x + m) + (-y) + (-n)
= (x + m) +[- (y + n)]
= (x + m) - (y + n)
- b) (x - y) - (m - n)
= x - y - m + n
= x + (-y) + (-m) + n
= (x + n) + (-y) + (-m)
= (x + n) + [- (y + m)]
= (x + n) - (y + m)
IL
1
19 tháng 7 2018
\(x+y=a+b\)(1)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3=\left(a+b\right)^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)(2)
Ta thấy: \(x+y=a+b\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=a^2+2ab+b^2\). Mà \(x^2+y^2=a^2+b^2\)
\(\Rightarrow xy=ab\Rightarrow3xy=3ab\)(3)
Từ (1); (2) và (3) \(\Rightarrow x^3+y^3=a^3+b^3\)
Lại có: \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(a^2+b^2\right)^2\Leftrightarrow x^4+2x^2y^2+y^4=a^4+2a^2b^2+b^4\)
Vì \(xy=ab\Rightarrow2x^2y^2=2a^2b^2\Rightarrow x^4+y^4=a^4+b^4\)
Sau đó sử dụng phép quy nạp là xong.
16 tháng 9 2018
Từ \(x+y=a+b\Rightarrow x-a=b-y\)(1)
Từ \(x^2+y^2=a^2+b^2\Rightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)
\(\Rightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\Rightarrow x+a=b+y\)(2)
Xét x-a=b-y=0 thì hẳn nhiên \(x^n+y^n=a^n+b^n\)(*)
Xét x-a=b-y\(\ne0\)
Cộng (1) và (2) ta có x=b
Trừ (1) và (2) theo vế ta có a=y
Do đó \(x^n+y^n=a^n+b^n\)(**)
Từ(*) và (**) suy ra đpcm
14 tháng 3 2016
a²+b²=x²+y²
<=>(a²-x²)+(b²-y²)=0
<=>(a-x)(a+x)+(b-y)(b+y)=0 (1)
a+b=x+y
<=>a-x=y-b,thay vào (1) ta có :
(y-b)(a+x)+(b-y)(b+y)=0
<=>(y-b)[(a+x)-(b+y)]=0
*TH1:y-b=0<=>y=b và x=a=>xn+yn=an+bn.
*TH2: a+x-(b+y)=0<=>a+x=b+y<=>
{x-y=b-a <=>{x=b
{x+y=a+b {a=y
=> xn+yn=an+bn.
Vậy xn+yn=an+bn
NV
31 tháng 12 2018
a²+b²=x²+y²
<=>(a²-x²)+(b²-y²)=0
<=>(a-x)(a+x)+(b-y)(b+y)=0 (1)
a+b=x+y
<=>a-x=y-b,thay vào (1) ta có :
(y-b)(a+x)+(b-y)(b+y)=0
<=>(y-b)[(a+x)-(b+y)]=0
*TH1:y-b=0<=>y=b và x=a=>xn+yn=an+bn.
*TH2: a+x-(b+y)=0<=>a+x=b+y<=>
{x-y=b-a <=>{x=b
{x+y=a+b {a=y
=> xn+yn=an+bn.
Vậy xn+yn=an+bn
2 tháng 4 2020
+) Ta có : \(x^2+y^2=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\) ( * )
+) Ta có : \(x+y=a+b\)
Thay \(x-a=b-y\) vào ( * ) ta được :
\(\left(b-y\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left(x+a\right)-\left(b-y\right)\left(b+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left[\left(x+a\right)-\left(b+y\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left(x+a-b-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b-y=0\\x+a-b-y=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=y\\x+a=b+y\end{cases}}\)
TH1 :\(b=y\)
\(\Rightarrow b-y=0\)
\(\Rightarrow x-a=0\)
\(\Rightarrow x=a\)
\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\) ( 1 )
TH2 : \(x+a=b+y\)
Mà \(x-a=b-y\)
\(\Rightarrow x+a+x-a=b+y+b-y\)
\(\Rightarrow2x=2b\)
\(\Rightarrow x=b\)
\(\Rightarrow a=y\)
\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\) ( 2 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 )
\(\Rightarrow\) đpcm
x+y = a+b
⇔ x – a = b –y (1)
x² +y² = a² +b²
⇔ x² –a² = b² –y²
⇔ (x – a)(x+a) = (b – y)(b+y)
_ nếu x – a = b –y = 0 thì x = a và y = b ⇒ xⁿ +yⁿ = aⁿ +bⁿ
_ nếu x – a = b –y ≠ 0, chia hai vế biểu thức cho x – a và b –y tương ứng ta được:
x + a = b + y (2)
cộng (1) và (2) theo vế ta được x = b
trừ (1) và (2) theo vế ta được y = a
⇔ xⁿ +yⁿ = aⁿ +bⁿ