Question

[Triết Phan]

Cho nửa đường tròn tâm I đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn và H là hình chiếu của C trên AB. Vẽ đường tròn (C;CH). Vẽ các tiếp tuyến AE và BF với đường tròn (C;CH) sao cho các tiếp điểm E, F không trùng với H.

CMR: a, AE//BF

          b, EA . BF = CH²

            c, EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Answer 1

[Xyz OLM]

Hình tự vẽ

a) BF ; AE tiếp tuyến 

=> \(\widehat{BFE}=\widehat{EFB}=90^{\text{o}}\)

Ta có \(\widehat{BFE}+\widehat{EFB}=180^{\text{o}}\)

=> FB//AE 

b) Xét tam giác vuông ACE ; ACH 

AC² = AE² + CE² = AH² + HC² 

=> AE = AH (CE = HC)

Tương tự ta có FB = HB

lại có \(\widehat{ACB}=90^{\text{o}}\left(\text{thuộc (I) ; đường kính AB}\right)\)

Xét tam giác vuông ABC vuông tại C ; đường cao AH có

AH.AB = CH² = AE.FB 

Answer 2

[Xyz OLM]

c) Ta có \(\widehat{ECF}=\widehat{ECA}+\widehat{ACB}+\widehat{FCB}=2\widehat{ACB}=180^o\)

(Vì \(\widehat{ECA}=\widehat{ACH};\widehat{HCB}=\widehat{FCB}\))

=> E;C;F thẳng hàng 

mà EC = CF 

=> C trung điểm EF

mà I trung điểm AB

=> CI đường trung bình hình thang EABF

=> EA//CI//FB

=> \(\widehat{ECI}=90^{\text{o}}\)

=> EF tiếp tuyến (I)