K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
24 tháng 12 2022

\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=1+x^2+y^2+x^2y^2+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x^2+y^2+2xy\right)+\left(x^2y^2+2xy+1\right)+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(1+xy\right)^2+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)

\(=\left(x+y+1+xy\right)^2\) là SCP

24 tháng 12 2022

(1+x2)(1+y2)+4xy+2(x+y)(1+xy)

 = 1+y2+x2+x2y2+2xy+2xy+2(x+y)(1+xy)

 =(x2+2xy+y2)+(x2y2+2xy+1)+2(x+y)(1+xy)

 =(x+y)2+(xy+1)2+2(x+y)(1+xy)

 =(x+y+xy+1)2

 

18 tháng 5 2022

\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(\forall x,y\))

-Vậy BĐT đã được c/m.

-Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

18 tháng 5 2022

ta co

vt (x+y)2=x2+y2+2xy

=x2-2xy+y2+4xy≥ 4xy (dpcm)

 

16 tháng 8 2021

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy ) 

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy ) 

\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)

9 tháng 12 2019

a) \(x^2+2xy+y^2+1\\ =\left(x+y\right)^2+1\\Do\left(x+y\right)^2>0\forall x\in R\\ \Rightarrow\left(x+y\right)^2+1>0\forall\in R\)

3 tháng 2 2022

Dễ thấy:

     \(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)

Áp dụng Cô-si:

     \(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)

Do đó:

     \(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)