Question

[Trần Linh Chi]

1.Cho \(x+y+z=0\)và \(x^2+y^2+z^2=1\).Khi đó , giá trị của \(M=2\left(x^4+y^4+z^4\right)=................\)

2.Cho đa thức \(f\left(x\right)=\left(2x^5+3x-4\right)^{2016}-\left(x^7+x^8\right)^5\). Tổng các hệ số của \(f\left(x\right)\)sau khi khai triển và rút gọn là ............

Answer 1

[Phước Nguyễn]

\(1.\)   Với mọi  \(x+y+z=0\)  \(\left(1\right)\), ta có:  \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=2\left(x^4+y^4+z^4\right)\)   \(\left(2\right)\)

Thật vậy,  từ  \(\left(1\right)\)  \(\Rightarrow\)  \(x=-\left(y+z\right)\)

                              \(\Leftrightarrow\)  \(x^2=\left[-\left(y+z\right)\right]^2\)

                              \(\Leftrightarrow\)  \(x^2=y^2+2yz+z^2\)

                              \(\Leftrightarrow\)  \(x^2-y^2-z^2=2yz\)

                              \(\Leftrightarrow\)  \(\left(x^2-y^2-z^2\right)^2=4y^2z^2\)

                              \(\Leftrightarrow\)   \(x^4+y^4+z^4-2x^2y^2+2y^2z^2-2x^2z^2=4y^2z^2\)

                              \(\Leftrightarrow\)   \(x^4+y^4+z^4=4y^2z^2+2x^2y^2-2y^2z^2+2x^2z^2\)

                              \(\Leftrightarrow\)  \(x^4+y^4+z^4=2\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)  \(\left(3\right)\)

Cộng  \(x^4+y^4+z^4\)  vào hai vế của đẳng thức  \(\left(3\right)\), ta được đẳng thức \(\left(2\right)\)

Vậy, đẳng thức  \(\left(2\right)\)  đã được chứng minh với mọi  \(x+y+z=0\) 

Khi đó,  \(M=2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=1\)

Do đó,  giá trị  \(M=1\)

                                                              -Charlotte-

Answer 2

[Trần Linh Chi]

Nhờ mọi người ghi giúp mình cách giải nhé! Cảm ơn mọi người nhiều.