Question

[Hoàng Hà]

cho điểm M nằm ngoài (O;R), vẽ các tiếp tuyến MA,MB với (O;R).Vẽ đường kính AC, tiếp tuyến tại C của đường tròn (O;R) cắt AB ở D.Chứng minh rằng: a)Tứ giác MAOB nội tiếp b)AB.AD=4R^2

Answer 1

[Nguyễn Duy Khang]

a) Xét tứ giác MAOB có:

\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^o+90^o=180^o\) (MA,MB là tiếp tuyến)

=> Tứ giác MAOB nội tiếp (dhnb)

b) Tam giác CAD vuông tại C (tiếp tuyến tại C) và có BC là đường cao (góc ABC nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow AC^2=AB.AD\) (hệ thức lượng)    (1)

Có: \(AC^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)    (2) 

Từ (1) và (2) suy ra \(AB.AD=4R^2\)

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) là hai góc đối

\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét (O) có

ΔABC nội tiếp đường tròn(A,C,B∈(O))

AC là đường kính(gt)

Do đó: ΔABC vuông tại B(Định lí)

⇔CB⊥AB tại B

⇔CB⊥AD tại B

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔADC vuông tại C có CB là đường cao ứng với cạnh huyền AD, ta được:

\(AB\cdot AD=AC^2\)

\(\Leftrightarrow AB\cdot AC=\left(2\cdot R\right)^2=4R^2\)(đpcm)