Cho tứ giác ACPB nội tiếp đường tròn .Gọi D là giao điểm của BC và AP.Chứng minh:
\(\dfrac{S_{PBC}}{S_{ABC}}=\dfrac{PD}{AD}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 6 2021
a) Xét \(\Delta BAE\) và \(\Delta CAF\) có:
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat{AEB}=\widehat{CFA}=90^0\)
nên \(\Delta BAE\sim\Delta CAF\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{BA}{CA}=\dfrac{AE}{AF}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\)
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta AEF\) có:
Góc A chung
\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AF}\)
nên \(\Delta ABC\sim\Delta AEF\left(c.g.c\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2=cos^2A=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow2S_{AEF}=S_{ABC}=S_{AEF}+S_{BFEC}\) \(\Leftrightarrow S_{AEF}=S_{BFEC}\) (dpcm)
b) Có \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\) (do \(\Delta ABC\sim\Delta AEF\))
\(\Leftrightarrow90^0-\widehat{AFE}=90^0-\widehat{ACB}\)
\(\Leftrightarrow\widehat{EFC}=\widehat{DAC}\) mà \(\widehat{C}\) chung \(\Rightarrow\Delta EFC\sim\Delta HAC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{EF}{HA}=\dfrac{FC}{AC}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{EF}{HA}=sinA\)\(\Leftrightarrow EF=HA.sinA\)
c)CM được:\(\Delta DHC\sim\Delta FBC\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{HD}{BF}=\dfrac{CH}{BC}\Leftrightarrow\dfrac{HD.BC}{BF}=CH\)
\(\Delta HEC\sim\Delta AFC\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{HE}{AF}=\dfrac{HC}{AC}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{HE.AC}{AF}=HC\)
Xét \(S_{BHC}.tanB-S_{HAC}.tanA\)\(=\dfrac{1}{2}.HD.BC.\dfrac{FC}{BF}-\dfrac{1}{2}.HE.AC.\dfrac{FC}{AF}\)
\(=\dfrac{1}{2}.CH.FC-\dfrac{1}{2}.HC.FC=0\) \(\Leftrightarrow S_{BHC}.tanB-S_{HAC}.tanA=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{S_{BHC}}{tanA}=\dfrac{S_{HAC}}{tanB}\) , CM tương tự \(\Rightarrow\dfrac{S_{HAC}}{tanB}=\dfrac{S_{HAB}}{tanC}\)
=>dpcm
12 tháng 3 2022
a) theo gt, BFC=BEC=90
=> BFEC nội tiếp (có 2 góc kề bang nhau)
góc AFC=ADC=90 => AFDC nội tiếp ( có 2 cạnh kề cùng nhìn một đoan thẳng bằng nhau)
b) vì tứ giác ABA'C nội tiếp => ABC = AA'C (cùng chắn cung AC)
Lại có ABC= AHF (Cùng phụ với góc BAD)
Ta thấy AFHE nội tiếp vì AFH +AEH = 90+90=180
=> AHF=AEF (Cùng chắn cung AF)
=>Đpcm
c) vì tứ giác EQA'C nôi tiếp
nên EQA'+ECA'=180 mà ECA'=90 vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
=> MQP=EQA'=90 ( vì MQP+EQA=180)
Trong đó ADC=90 =>Đpcm
d) Vì ABA'C VÀ FBDH nội tiếp nên góc NA'C=ABC=DHC
=>NA'C=DHC=>Đpcm
21 tháng 8 2022
a: Xéttứ giác AEHF có góc AEH+góc AFH=180 độ
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
c: Xét tứ giác AEDC có góc ADC=góc AEC=90 độ
nên AEDC là tứ giác nội tiếp
d: góc EDA=góc ABF
góc FDA=góc FDH=góc ACE
mà góc ABF=góc ACE
nên góc EDA=góc FDA
=>DA là phân giác của góc EDF
Kẻ AE , PF vuông góc với BC
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta PDF\) có :
\(\Lambda ADE=\Lambda PDF\) (đối đỉnh )
\(\Lambda AED=\Lambda PFD=90^0\) (vẽ thêm)
\(\Rightarrow\Delta ADE\sim\Delta PDF\left(g,g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AE}{PF}=\dfrac{AD}{PD}\) \(\Rightarrow\dfrac{PF}{AE}=\dfrac{PD}{AD}\left(1\right)\)
Mà \(\dfrac{S_{\Delta PBC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot PF\cdot BC}{\dfrac{1}{2}\cdot AE\cdot BC}=\dfrac{PF}{AE}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{S_{\Delta PBC}}{S_{\Delta ABC}}=\dfrac{PD}{AD}\)