Question

[응 우옌 민 후엔]

Cho ΔABC (góc A = 90⁰), lấy E є BC. Lấy D, F lần lượt là các điểm đối xứng với E qua các trục AB, AC.

a.  CMR: D, F đối xứng nhau qua A.

b.  ΔDEF là tam giác gì? Vì sao?

c.  CMR: BC = BD + CF.

d.  ◊BDFC là hình gì? Vì sao?

e.  E ở vị trí nào trên BC để ◊BDFC là hình bình hành?

f.  ΔABC cần điều kiện gì để khi đó E ở vị trí nào trên BC để ◊BDFC là hình chữ nhật.

Answer 1

[Yen Nhi]

Gọi M , B là trung điểm của DE , EF

a) Xét hai tam giác vuông \(\Delta AEM\)và \(\Delta ADM\)có :

AM chung ; EM = DM

=> \(\Delta AEM=\Delta ADM\)( hai cạnh góc vuông )

=> AE = AD và \(\widehat{A2}\)\(=\widehat{A1}\)(1)

Chứng minh tương tự , ta có : AE = AF và \(\widehat{A4}\)\(=\widehat{A3}\)(2)

Từ (1) , (2) suy ra :

AE = AD = AF và \(\widehat{A1}+\widehat{A2}+\widehat{A3}+\widehat{A4}=2.\left(\widehat{A2}+\widehat{A3}\right)=2.90^O=180^O\)

=> AD = AF và D,A,F thẳng hàng

=> D và F đối xứng nhau qua A ( đpcm )

b) F đối xứng với E qua N => EN\(\perp\)AC , tương tự EM\(\perp\)EN

=> AMEN là hình chữ nhật => EM\(\perp\)EN

=>\(\Delta DEF\)là tam giác vuông tại E

c) Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta ABE\)ta có :

AB chung ; AD = AE ; \(\widehat{A1}=\widehat{A2}\)

=> \(\Delta ABD=\Delta ABE\)( c.g.c ) => BD = BE

Tương tự ta chứng minh được CE = CF

Suy ra : BD + CF = BE + CE = BC ( đpcm )

d) EN \(||\)AB => \(\widehat{E1}=\widehat{B1}\)mà \(\widehat{B1}=\widehat{B2}\) ( do \(\Delta ABD=\Delta ABE\)) và \(\widehat{E1}=\widehat{F1}\)

=> \(\widehat{B2}=\widehat{F1}\)

Lại có AB \(||\)EF => BD \(||\)CF

=> BDFC là hình thang ( CF , BD là hai cạnh đáy )

e) Để BDCF là hình bình hành thì CF = BD mà CF = CE ; BD = BE

=> CE = BE <=> E là trung điểm của BC

f) Để BDFC là hình chữ nhật thì BD\(\perp\)BC mà \(\widehat{B2}=\widehat{B1}\)

=> \(\widehat{B2}=\widehat{B1}=45^O\Rightarrow\Delta ABC\)vuông cân ở A

Đồng thời kết hợp với điều kiện để BDFC là hình bình hành tức E là trung điểm của BC

Khi đó BDFC sẽ là hình chữ nhật