Question

[Trần Trung Chiến]

cho tam giác abc vuông tại a đường cao ah, d là trung điểm của ab chứng minh đường tròn đi qua điểm a h d cũng đi qua trung điểm f của đoạn bc và e của đoạn ac

Answer 1

[Doãn Bảo Lâm]

ssdzsawrrrrrrt

Answer 2

[Lê Song Phương]

Xét \(\Delta ABC\)có D và F lần lượt là trung điểm của AB và BC \(\Rightarrow\)DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow DF//AC\)

Mà \(AB\perp AC\Rightarrow DF\perp AB\Rightarrow\widehat{ADF}=90^0\)

Xét tứ giác ADHF có \(\widehat{ADF}=\widehat{AHF}\left(=90^0\right)\Rightarrow\)Tứ giác ADHF nội tiếp được đường tròn. \(\Rightarrow\)Đường tròn đi qua A, D, H đi qua F. (1)

Dễ dàng chứng minh EF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\(\Rightarrow EF//AB\)

Mà \(AB\perp AC\Rightarrow EF\perp AC\Rightarrow\widehat{AEF}=90^0\)

Xét tứ giác ADFE có \(\widehat{DAE}=\widehat{ADF}=\widehat{AEF}\left(=90^0\right)\Rightarrow\)Tứ giác ADFE là hình chữ nhật \(\Rightarrow\)A,D,F,E cùng thuộc một đường tròn \(\Rightarrow\)Đường tròn đi qua A,D,F cũng đi qua E. Mà đường tròn đi qua A,D,F chính là đường tròn đi qua A,D,H nên đường tròn đi qua A,D,H đi qua E. (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrowđpcm\)