Question

[Harry Maguire]

Giải dùm mình với các bạn!

Answer 1

[Đoàn Đức Hà]

Bài 1: 

\(S=2+\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt[3]{\frac{4}{3}}+...+\sqrt[2017]{\frac{2018}{2017}}\)

Xét \(x_k=\sqrt[k]{\frac{k+1}{k}}>1\)với mọi \(k\).

Theo bất đẳng thức AM - GM ta có: 

\(x_k=\sqrt[k]{\frac{k+1}{k}.1.....1}\le\frac{\frac{k+1}{k}+k-1}{k}=1+\frac{1}{k^2}\)

Khi đó \(S\le1+\frac{1}{1^2}+1+\frac{1}{2^2}+...+1+\frac{1}{2017^2}\)

\(=2017+\left(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2017^2}\right)\)

\(< 2017+\left(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2016.2017}\right)\)

\(=2018+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right)< 2019\)

mà \(S>2+1+1+...+1=2018\)

do đó \(\left[S\right]=2018\).