Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R=9cm . Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón (như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi độ dài cung tròn của hình quạt tạo thành hình nón bằng
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án D
Gọi r;h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối nón ⇒ V N = 1 3 π r 2 h
Mà h = l 2 − r 2 = R 2 − r 2 = 81 − r 2 Suy ra V N = 1 3 π r 2 81 − r 2 = π 3 r 4 81 − r 2
Ta có r 2 . r 2 . 162 − 2 r 2 2 ≤ r 2 + r 2 + 162 − 2 r 2 3 2.27 = 78732 ⇒ V ≤ π 3 . 78732 ⇒ V max = 78732 3 π
Dấu " = " xaye ra ⇔ 3 r 2 = 162 ⇔ r = 3 6 ⇒ Độ dài cung tròn là l = 2 π r = 6 π 6
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi phần cung tròn bị cắt có góc ở tâm bằng x độ \(\left(0< x< 360\right)\)
Chu vi đường tròn ban đầu: \(2\pi R\)
Chu vi sau khi bị cắt: \(2\pi R\left(1-\dfrac{x}{360}\right)\)
(Và lưu ý chu vi này đúng bằng chu vi đường tròn đáy hình nón được tạo ra, đường sinh nón bằng R)
Gọi đáy nón có bán kính \(r\)
\(\Rightarrow2\pi r=2\pi R\left(1-\dfrac{x}{360}\right)\Rightarrow r=R\left(1-\dfrac{x}{360}\right)\)
\(\Rightarrow V_{nón}=\dfrac{1}{3}\pi r^2.\sqrt{R^2-r^2}=f\left(x\right)\)
Giờ chắc khảo sát hàm \(f\left(x\right)\) tìm x là được
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đáp án A
Ta có thể nhận thấy đường sinh của hình nón là bán kính của đĩa tròn. Còn chu vi đáy của hình nón chính là chu vi của đĩa trừ đi độ dài cung tròn đã cắt. Như vậy ta tiến hành giải chi tiết như sau:
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Thể tích cái phễu là V = 1 3 πr 2 h
Ta có chu vi đáy là 2 πr = Rx
Suy ra
r = R x 2 π h = R 2 - r 2 = R 2 - R 2 x 2 4 π 2 = R 2 π 4 π 2 - x 2
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương ta có:
V = 3 R 3 48 π 2 x 2 . 2 3 π 4 π 2 - x 2 ≤ 3 R 3 2 . 48 π 2 x 2 4 3 π 2 + 4 π 2 - x 2 = 3 R 3 2 . 48 π 2 x 2 16 3 π 2 - x 2 ≤ 1 8 3 R 3 48 π 2 . x 2 + 16 3 π 2 - x 2 2 = 1 8 3 R 3 48 π 2 . 16 2 9 π 4 = 2 3 27 πR 3
Dấu bằng có khi và chỉ khi
2 3 π = 4 π 2 - x 2 x 2 = 16 3 π 2 - x 2 ⇔ x = 2 2 3 π
Vậy 2 3 27 πR 3 khi và chỉ khi x = 2 2 3 πR 3
Đáp án A