chứng minh \(m\sqrt[m]{a}+n\sqrt[n]{b}\ge\left(m+n\right)\sqrt[m+n]{ab}\) với a;b>0; 1\(\le\)m,n \(\in\)N
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 6 2017
a) Bình phương 2 vế được: \(\frac{4ab}{a+b+2\sqrt{ab}}\le\sqrt{ab}\)
<=> \(4ab\le\sqrt{ab}\left(a+b\right)+2ab\)
<=>\(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\ge2ab\)
<=>\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)
KB
19 tháng 3 2019
Vì a ; b ; c dương , áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số dương , ta có :
\(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}\ge2\sqrt{\frac{c\left(a-c\right)}{ab}}\)
\(\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\ge2\sqrt{\frac{c\left(b-c\right)}{ab}}\)
\(\Rightarrow2\ge2\sqrt{\frac{c\left(a-c\right)}{ab}}+2\sqrt{\frac{c\left(b-c\right)}{ab}}\)
\(\Rightarrow1\ge\frac{\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{ab}\ge\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{c}{b}=\frac{a-c}{a};\frac{c}{a}=\frac{b-c}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{c}{b}+\frac{c}{a}=1\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\)
Vì \(a;b\ge c\Rightarrow a=b=2c\)
Vậy ...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 3 2019
BĐT cần chứng minh tương đương: \(\sqrt{\frac{c\left(a-c\right)}{ba}}+\sqrt{\frac{c\left(b-c\right)}{ab}}\le1\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{b}+\frac{a-c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{b-c}{b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a-c+c}{a}+\frac{c+b-c}{b}\right)=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2c\)
1 tháng 8 2020
Bài 1:
Ta có: a,b không âm(gt)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}\) và \(\sqrt{b}\) được xác định
Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
27 tháng 7 2018
Ta có:
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}=1\)
\(\Leftrightarrow(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=1\)
\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}=1\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}=1-\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}=\dfrac{1-\left(a+b\right)}{2}\)
Lại có:
\(ab\left(a+b\right)^2=\left[\sqrt{ab}.\left(a+b\right)\right]^2=\left[\dfrac{1-\left(a+b\right)}{2}.\left(a+b\right)\right]^2=\left[\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2\)
Ta thấy:
\(\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2=-\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)\right]=-\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right]=-\left(a+b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\le\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2}{2}\le\dfrac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow[\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a+b\right)^2}{2}]^2\le\dfrac{1}{64}\)
hay \(ab\left(a+b\right)^2\le\dfrac{1}{64}\) (đpcm)
