Tìm các số nguyên n để n4 + 3n3 + 3n2 là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
0
NA
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 10 2021
Lời giải:
$n^4+3n^3+4n^2+3n+1=(n+1)^2(n^2+n+1)$
Nếu đây là scp thì $n^2+n+1$ cũng phải là scp
Đặt $n^2+n+1=t^2$ với $t$ tự nhiên
$\Leftrightarrow 4n^2+4n+4=(2t)^2$
$\Leftrightarrow (2n+1)^2+3=(2t)^2$
$\Leftrightarrow 3=(2t-2n-1)(2t+2n+1)$
$\Rightarrow 2t+2n+1=3; 2t-2n-1=1$
$\Rightarrow n=0$ (trái giả thiết)
Vậy có nghĩa là $n^2+n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow n^4+3n^3+4n^2+3n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
Ta có đpcm.
MA
1
B
29 tháng 6 2023
+)Đặt A = n4+8n3+17n2+4n+6
=> A= (n2+4n)2+(n+2)2+2>0
=> A> (n2+4n)2
+)Xét với n = 0 => A= 6 (không thỏa mãn)
Xét hiệu B=(n2+4n+1)2-A
=n4+16n2+1+8n3+2n2+8n-n4-8n3-17n2-4n-6
=n2+4n-5
=(n+2)2-9
TH1:B≤0 <=> -5≤n≤1 hay n∈{-5,-4,-3,-2,-1,1} vì n khác 0(cmt)
ta có A=(n2+4n)2+(n+2)2+2= n2(n+4)2+(n+2)2+2
Vì A là số chính phương nên A≡ 0,1(mod4)và A≡0,1,4(mod 5)
Ta xét với n≡0 (mod 4)=> A≡0+4+2≡2 (mod4) => loại
n≡ 1 (mod 4)=> A≡ 25+ 9+2≡0 (mod4) => chọn
cmtt với n≡3(mod 4)=>A≡0(mod 4)=> chọn
n≡ 2(mod 4) => A≡2(mod4) => loại
Ta xét tiếp với mod 5 với n≡ 0,1,2,3,4 thì chỉ có n≡ 0,1 thỏa mãn
=> n ∈{-5,1}
Từ đây ta thay với n= -5 hay 1 thì (n+2)2-9=0
=>B=0 và A=(n2+4n+1)2
=> n∈{1,-5}
TH2: B>0=> (n2+4n)<A<(n2+4n+1)2
=> không tồn tại số chính phương A
Vậy để n4 + 8n3 + 17n2 + 4n + 6 là số chính phương thì n∈{1,-5}
28 tháng 2 2021
`k^2-k+10`
`=(k-1/2)^2+9,75>9`
`k^2-k+10` là số chính phương nên đặt
`k^2-k+10=a^2(a>3,a in N)`
`<=>4k^2-4k+40=4a^2`
`<=>(2k-1)^2+39=4a^2`
`<=>(2k-1-2a)(2k-1+2a)=-39`
`=>2k-2a-1,2k+2a-1 in Ư(39)={+-1,+-3,+-13,+-39}`
`2k+2a>6`
`=>2k+2a-1> 5`
`=>2k+2a-1=39,2k-2a-1=-1`
`=>2k+2a=40,2k-2a=0`
`=>a=k,4k=40`
`=>k=10`
Vậy `k=10` thì `k^2-k+10` là SCP
28 tháng 2 2021
`+)2k+2a-1=13,2k-2a-1=-3`
`=>2k+2a=14,2k-2a=-2`
`=>k+a=7,k-a=-1`
`=>k=3`
Vậy `k=3` hoặc `k=10` thì ..........
10 tháng 5 2023
A nguyên thì 3n^2-12+21 chia hết cho n-2
=>\(n-2\in\left\{1;-1;3;-3;7;-7;21;-21\right\}\)
=>\(n\in\left\{3;1;5;-1;9;-5;23;-19\right\}\)
KN
2
NN
3 tháng 8 2023
\(B=n^2-2.n.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+12,25=\)
\(=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2+12,25\ge12,25\)
B là số chính phương
\(\Rightarrow n^2-n+13=p^2\)
\(\Leftrightarrow4n^2-4n+52=4p^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)^2+51=4p^2\)
\(\Leftrightarrow4p^2-\left(2n-1\right)^2=51\)
\(\Leftrightarrow\left(2p-2n+1\right)\left(2p+2n-1\right)=51\)
\(\Rightarrow\left(2p-2n+1\right)\) và \(\left(2p+2n-1\right)\) phải là ước của 51
\(=\left\{-51;-17;-3-1;1;3;17;51\right\}\)
Ta có các trường hợp
\(\left\{{}\begin{matrix}2p-2n+1=-51\\2p+2n-1=-1\end{matrix}\right.\) giải hệ để tìm n
Tương tự với các trường hợp khác
3 tháng 8 2023
| \(2p-2n+1\) | \(51\) | \(1\) | \(-51\) | \(-1\) | \(17\) | \(3\) | \(-17\) | \(-3\) |
| \(2p+2n-1\) | \(1\) | \(51\) | \(-1\) | \(-51\) | \(3\) | \(17\) | \(-3\) | \(-17\) |
| \(p\) | \(13\) | \(13\) | \(-13\) | \(-13\) | \(5\) | \(5\) | \(-5\) | \(-5\) |
| \(n\) | \(-12\) | \(13\) | \(13\) | \(-12\) | \(-3\) | \(4\) | \(4\) | \(-3\) |
11 tháng 4 2017
Đặt \(n^2+n+1=k^2\left(k\in Z^+\right)\)
\(\Leftrightarrow4n^2+4n+4=4k^2\)
\(\Leftrightarrow4k^2=4n^2+4n+1+3\)
\(\Leftrightarrow4k^2-\left(2n+1\right)^2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(2k-2n-1\right)\left(2k+2n+1\right)=3\)
Vì \(n,k\in Z\Rightarrow2k-2n-1,2k+2n+1\inƯ\left(3\right)\)
*lập bảng
| 2k-2n-1 | -3 | -1 | 1 | 3 |
| 2k+2n+1 | -1 | -3 | 3 | 1 |
| 2k-2n | -2 | 0 | 2 | 4 |
| 2k+2n | -2 | -4 | 2 | 0 |
| k | -1 | -1 | 1 | 1 |
| n | 0 | -1 | 0 | -1 |
Vậy \(n\in\){-1; 0} thì n2+n+1 là số cp
Không trả lời thì thôi !!! Đừng có mà trả lời lung tung